2012-上海卷文-15 单-实系数方程虚根成对

本题导读

本题考查实系数方程的虚根成对定理，以及韦达定理。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 若 $1+\sqrt{2}i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^2+bx+c=0$ 的一个复数根，则()

A. $b=2$，$c=3$　　B. $b=2$，$c=-1$　　C. $b=-2$，$c=-1$　　D. $b=-2$，$c=3$

🔍【思路分析】

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两根 $1\pm \sqrt{2}i$，和为 $2$、积为 $3$，故 $b=-2$，$c=3$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

实系数方程的虚根成对出现，另一根为 $1-\sqrt{2}i$。

两根之和 $=2=-b$，故 $b=-2$；两根之积 $=1^2+(\sqrt{2}{)}^2=3=c$，故 $c=3$。

选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：实系数方程虚根成对定理；韦达定理

核心方法：写出共轭根，用两根和与积定 $b$、$c$

避坑指南：$x^2+bx+c=0$ 中 $b$ 等于两根之和的相反数；虚根积用 $|z{|}^2=1+(\sqrt{2}{)}^2=3$ 计算更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数与方程综合题，与 2014 年上海卷文第 16 题、2013 年上海卷文第 3 题同族。

结论推广：实系数 $n$ 次方程虚根成对共轭出现；二次方程 $x^2+bx+c=0$ 的两根 $z_1,z_2$ 满足 $z_1+z_2=-b$，$z_1{z}_2=c$。

方法推广：实系数方程见虚根先补共轭根，再套韦达定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-16 单-复数与集合
• 2013-上海卷文-03 填-纯虚数
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法