2013-上海卷文-03 填-纯虚数

本题导读

本题考查复数的基本概念，以及纯虚数。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 设 $m\in \mathbf{R}$，$m^2+m-2+(m^2-1)\mathrm{i}$ 是纯虚数，其中 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 实部为零：$m^2+m-2=0$，即 $(m+2)(m-1)=0$，得 $m=-2$ 或 $m=1$。
2. 虚部不为零：$m^2-1\ne 0$，排除 $m=1$。
3. 故 $m=-2$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

复数 $z=m^2+m-2+(m^2-1)\mathrm{i}$ 为纯虚数，等价于 $\{\begin{array}{l}{m}^2+m-2=0,\\ m^2-1\ne 0.\end{array}$ 由 $m^2+m-2=0$ 得 $(m+2)(m-1)=0$，即 $m=-2$ 或 $m=1$。 当 $m=1$ 时，虚部 $m^2-1=0$，此时 $z=0$ 是实数，不合题意，舍去。 当 $m=-2$ 时，虚部 $m^2-1=3\ne 0$，符合。 故 $m=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：纯虚数的判定（实部为零且虚部非零）

核心方法：实部 $m^2+m-2=0$ → $m=1$ 或 $m=-2$；虚部 $m^2-1\ne 0$ 排除 $m=1$ → $m=-2$

避坑指南：纯虚数要求两个条件同时成立：实部为零且虚部不为零；只解实部方程就填答案会混进 $m=1$（此时 $m^2-1=0$，复数为 $0$，是实数而非纯虚数）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数分类判定题是上海卷（与全国卷）填空题的常客，与 2013 安徽文 1 的”纯虚数定参”同型。

结论推广：$a+bi$（$a,b\in \mathbf{R}$）为纯虚数 ⇔ $a=0$ 且 $b\ne 0$；为实数 ⇔ $b=0$；为虚数 ⇔ $b\ne 0$。

方法推广：凡”某复数是纯虚数（或虚数）“型题，列完实部方程后必须回代检验虚部，两个条件缺一不可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-01 单-复数纯虚数
• 2013-陕西卷文-06 单-复数命题真假
• 2014-安徽卷文-01 单-复数运算