2012-上海卷文-23 解-控制数列新定义

本题导读

本题考查数列的新定义。核心在于定义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 对于项数为 $m$ 的有穷数列 $\{a_n\}$，记 $b_k=\max \{a_1,a_2,\cdots ,a_k\}$（$k=1,2,\cdots ,m$），即 $b_k$ 为 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_k$ 中的最大值，并称数列 $\{b_k\}$ 是 $\{a_n\}$ 的控制数列. 如 $1$，$3$，$2$，$5$，$5$ 的控制数列是 $1$，$3$，$3$，$5$，$5$.

(1)若各项均为正整数的数列 $\{a_n\}$ 的控制数列为 $2$，$3$，$4$，$5$，$5$，写出所有的 $\{a_n\}$；

(2)设 $\{b_n\}$ 是 $\{a_n\}$ 的控制数列，满足 $a_k+b_{m-k+1}=C$（$C$ 为常数，$k=1$，$2$，$\cdots$，$m$）. 求证：$b_k=a_k$（$k=1,2,\cdots ,m$）；

(3)设 $m=100$，常数 $a\in \left(\frac{1}{2},1\right)$. 若 $a_n=a{n}^2-(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}n$，$\{b_n\}$ 是 $\{a_n\}$ 的控制数列，求 $(b_1-a_1)+(b_2-a_2)+\cdots +(b_{100}-a_{100})$.

🔍【思路分析】

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（1）$2,3,4,5,k$（$k=1,\cdots ,5$）共 $5$ 个；（2）由条件推出 $\{a_n\}$ 递增即得 $b_k=a_k$；（3）和为 $2525(1-a)$。

✅【答案】

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(1)$2,3,4,5,1$；$2,3,4,5,2$；$2,3,4,5,3$；$2,3,4,5,4$；$2,3,4,5,5$；(2)见解析；(3)$2525(1-a)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由定义逐项读出：$a_1=b_1=2$；$b_2=3>a_1$ 得 $a_2=3$；同理 $a_3=4$，$a_4=5$；$b_5=5$ 已达到，$a_5$ 可取 $1,2,3,4,5$ 中任一正整数。

故共有 $5$ 个：$2,3,4,5,k$（$k=1,2,3,4,5$）。

（2）对每个 $k$，在条件中取下标 $m-k+1$：$a_{m-k+1}+b_k=C$，即 $b_k=C-a_{m-k+1}$。

控制数列 $\{b_k\}$ 单调不减，故对 $k=1,\cdots ,m-1$：$C-a_{m-k+1}=b_k⩽b_{k+1}=C-a_{m-k}$，即 $a_{m-k+1}⩾a_{m-k}$。

依次取 $k=1,\cdots ,m-1$ 得 $a_m⩾a_{m-1}⩾\cdots ⩾a_2$；又 $b_1=a_1⩽a_2$，故 $a_1⩽a_2⩽\cdots ⩽a_m$，即 $\{a_n\}$ 单调不减。

单调不减数列的控制数列满足 $b_k=\max \{a_1,\cdots ,a_k\}=a_k$，得证。

（3）$(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}$ 按 $n\mathrm{mod}4$ 取值：$n\equiv 1,2(\mathrm{mod}4)$ 时为 $-1$，$n\equiv 0,3(\mathrm{mod}4)$ 时为 $1$。

故 $a_n=a{n}^2+n$（$n\equiv 1,2(\mathrm{mod}4)$）；$a_n=a{n}^2-n$（$n\equiv 0,3(\mathrm{mod}4)$）。

比较相邻两项：$a_{n+1}-a_n=a(2n+1)\pm (2n+1)$，仅当 $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ 时 $a_{n+1}-a_n=(2n+1)(a-1)<0$，其余情形均大于零（因 $a>\frac{1}{2}$）。

故数列仅在 $n=4j+2$ 到 $4j+3$ 处下降，其余位置递增，从而 $b_n=a_n$ 当 $n\mathrm{mod}4\ne 3$；当 $n\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ 时 $b_n=a_{n-1}$。

于是 $\sum _{n=1}^{100}(b_n-a_n)=\sum _{n\equiv 3(mod4)}(a_{n-1}-a_n)$，$n=3,7,\cdots ,99$ 共 $25$ 项。

$a_{n-1}-a_n=\left[a(n-1{)}^2+(n-1)\right]-\left[a{n}^2-n\right]=(2n-1)(1-a)$。

$n=4j-1$（$j=1,\cdots ,25$）时 $2n-1=8j-3$，$\sum _{j=1}^{25}(8j-3)=8\times \frac{25\times 26}{2}-3\times 25=2600-75=2525$。

故所求和为 $2525(1-a)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义数列的理解；单调性与控制数列的关系；按模分组求和

核心方法：按定义逐项定值；用条件推出原数列单调；对符号项按 mod 4 分组并只数下降处

避坑指南：（1）$a_5$ 有 $5$ 种取值别只写一种；（3）符号 $(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}$ 的周期是 $4$，按 $n\mathrm{mod}4$ 分组；下降只发生在 $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ 之后，即只有 $n\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ 的项 $b_n\ne a_n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义数列压轴题，与 2014 年上海卷文第 23 题、2013 年上海卷文第 23 题同族。

结论推广：控制数列 $b_k=a_k$ 等价于 $\{a_n\}$ 单调不减；$\sum (b_n-a_n)$ 只需在”回退”位置求和。

方法推广：新定义题三步：用样例吃透定义 → 把条件翻译成单调性或结构 → 分组（按周期/模）计数求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-23 解-数列不等式
• 2013-上海卷文-23 解-双曲线新定义
• 2015-上海卷文-23 解-数列综合