2009-北京卷文-20 解-新定义数列存在性

本题导读

新定义压轴。$b_m$ 是 $a_n⩾m$ 的最小 $n$；(2) $a_n=2n-1$ 时 $b_{2k-1}=k$、$b_{2k}=k+1$，前 $2m$ 项和 $m^2+2m$；(3) 对一切 $m$ 一致成立逼出 $3p-1=0$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=pn+q$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$p>0$）.数列 $\{b_m\}$ 定义如下：对于正整数 $m$，$b_m$ 是使得不等式 $a_n⩾m$ 成立的所有 $n$ 中的最小值.

(1)若 $p=\frac{1}{2}$，$q=-\frac{1}{3}$，求 $b_3$；

(2)若 $p=2$，$q=-1$，求数列 $\{b_m\}$ 的前 $2m$ 项和公式；

(3)是否存在 $p$ 和 $q$，使得 $b_m=3m+2$（$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）？如果存在，求 $p$ 和 $q$ 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. (1) $\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}⩾3\Rightarrow n⩾\frac{20}{3}$，最小正整数 $7$，$b_3=7$。
2. (2) $a_n=2n-1⩾m\Rightarrow n⩾\frac{m+1}{2}$；$m=2k-1$ 时 $b_{2k-1}=k$，$m=2k$ 时 $b_{2k}=k+1$，前 $2m$ 项和 $=\sum (2k+1)=m^2+2m$。
3. (3) $b_m=3m+2$ 等价于 $a_{3m+2}⩾m$ 且 $a_{3m+1}<m$ 对一切 $m$ 成立，两式相减逼出 $3p-1=0$，得 $p=\frac{1}{3}$，$-\frac{2}{3}⩽q<-\frac{1}{3}$。

✅【答案】

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(1) $b_3=7$；(2)前 $2m$ 项和为 $m^2+2m$ (3) 存在，$p=\frac{1}{3}$ 且 $-\frac{2}{3}⩽q<-\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $a_n=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}$。由 $a_n⩾3$ 得 $\frac{1}{2}n⩾\frac{10}{3}$，即 $n⩾\frac{20}{3}$，满足的最小正整数为 $7$，故 $b_3=7$。

（2） $a_n=2n-1$。由 $2n-1⩾m$ 得 $n⩾\frac{m+1}{2}$。 对正整数 $k$：当 $m=2k-1$ 时，$\frac{m+1}{2}=k$，$b_{2k-1}=k$；当 $m=2k$ 时，$\frac{m+1}{2}=k+\frac{1}{2}$，最小正整数 $n=k+1$，$b_{2k}=k+1$。 故前 $2m$ 项和 ${\sum }_{j=1}^{2m}{b}_j={\sum }_{k=1}^m(b_{2k-1}+b_{2k})={\sum }_{k=1}^m(2k+1)=2\cdot \frac{m(m+1)}{2}+m=m^2+2m.$

（3） $p>0$ 时 $a_n=pn+q$ 严格递增。$b_m=3m+2$ 对一切正整数 $m$ 成立，等价于 $a_{3m+2}⩾m\text{且}{a}_{3m+1}<m(\forall m\in {\mathbf{N}}^{\ast }),$ 即 $(3p-1)m+2p+q⩾0,(3p-1)m+p+q<0(\forall m\in {\mathbf{N}}^{\ast }).$ 若 $3p-1>0$，第二个式子在 $m$ 充分大时不成立；若 $3p-1<0$，第一个式子在 $m$ 充分大时不成立。故 $3p-1=0$，即 $p=\frac{1}{3}$。 此时两式化为 $q+\frac{2}{3}⩾0$ 与 $q+\frac{1}{3}<0$，即 $-\frac{2}{3}⩽q<-\frac{1}{3}$。 反之，当 $p=\frac{1}{3}$ 且 $-\frac{2}{3}⩽q<-\frac{1}{3}$ 时，$a_{3m+2}=m+\frac{2}{3}+q⩾m$，$a_{3m+1}=m+\frac{1}{3}+q<m$，由 $a_n$ 递增知 $b_m=3m+2$ 成立。 故存在这样的 $p$、$q$：$p=\frac{1}{3}$ 且 $-\frac{2}{3}⩽q<-\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义数列与不等式恒成立

核心方法：翻译定义 + 分类求和 + 一致有界逼出参数

避坑指南：(3) 中”$b_m=3m+2$ 对一切 $m$“等价于 $a_{3m+2}⩾m$ 且 $a_{3m+1}<m$（$\forall m$），一次式对一切正整数 $m$ 有界当且仅当 $3p-1=0$；漏验证充分性不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义数列是北京卷压轴题的标志性题型。

结论推广：$b_m$ 的定义把”计数”转为”解不等式取最小整数”。

方法推广：奇偶分组配对求和 $\sum (2k+1)=m^2+2m$；恒成立问题用”一次式系数必须为零”定参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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