2012-上海卷理-03 填-二阶行列式

本题导读

本题考查二阶行列式的展开运算，以及含三角函数的函数值域的求法。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 函数 $f(x)=\left|\begin{array}{cc}2& \cos x\\ \sin x& -1\end{array}\right|$ 的值域是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开行列式：按“主对角线之积减副对角线之积”展开，得到含 $\sin x\cos x$ 的式子。
2. 统一函数名：利用二倍角公式 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 合并为一个正弦量。
3. 夹逼求值域：由 $\sin 2x\in [-1,1]$ 得到 $f(x)$ 的范围。

✅【答案】

点击查看答案

$[-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算二阶行列式 $f(x)=\left|\begin{array}{cc}2& \cos x\\ \sin x& -1\end{array}\right|=2\times (-1)-\cos x\cdot \sin x=-2-\sin x\cos x$

第二步：用二倍角公式合并 由 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，得 $f(x)=-2-\frac{1}{2}\sin 2x$

第三步：由正弦函数的有界性求值域 因为 $-1\le \sin 2x\le 1$，两边乘以 $-\frac{1}{2}$（不等号方向随之改变）得 $-\frac{1}{2}\le -\frac{1}{2}\sin 2x\le \frac{1}{2}$ 各加 $-2$，得 $-\frac{5}{2}\le f(x)\le -\frac{3}{2}$ 当 $\sin 2x=1$ 时取到左端 $-\frac{5}{2}$，当 $\sin 2x=-1$ 时取到右端 $-\frac{3}{2}$，两端均能取到。

故填入答案为：$\left[-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二阶行列式的展开规则；正弦函数有界性在求值域中的应用。

核心方法：“公式法”。先把函数化为 $A+B\sin (\omega x+\phi )$ 的标准形式，再由 $|\sin |\le 1$ 夹逼出值域。

避坑指南：- 行列式展开是主对角线之积减副对角线之积，位置写错会导致整体符号错误。 - 由 $-1\le \sin 2x\le 1$ 乘以负系数 $-\frac{1}{2}$ 时不等号方向要改变，值域的两个端点随之互换。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二阶行列式的定义、正弦二倍角公式、正弦函数的有界性。

结论推广：形如 $y=a+b\sin (\omega x+\phi )$（$b\ne 0$）的函数，值域恒为 $[a-|b|,a+|b|]$。

方法推广：求含有 $\sin x\cos x$、${\sin }^{2}x$、${\cos }^{2}x$ 的函数值域时，先降幂升角化为一次的正弦（或余弦），再借助有界性处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式 类题演练 (Links)

• 2018-上海卷-01 填-行列式

• 1990-广东理-08 单-三角函数式的值域