2012-上海卷理-05 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及二项展开式中常数项的确定方法。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 在 ${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^6$ 的二项展开式中，常数项等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项：把系数与字母一并写成 $T_{k+1}$ 的形式。
2. 令指数为零：合并 $x$ 的幂次，令其指数等于 $0$ 解出 $k$。
3. 代回求值：代入 $k=3$，注意 $(-2{)}^k$ 的符号不能丢失。

✅【答案】

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$-160$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出展开式的通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_6^k(-2{)}^k{x}^{6-2k}(k=0,1,\cdots ,6)$

第二步：确定常数项对应的 $k$ 常数项要求 $x$ 的指数为 $0$，即 $6-2k=0$ 解得 $k=3$。

第三步：计算常数项的值 $\text{常数项}={\mathrm{C}}_6^3(-2{)}^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times (-8)=20\times (-8)=-160$

故填入答案为：$-160$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的通项公式与“指定项”的求法。

核心方法：“通项公式法”。先把含系数的部分与字母部分一并写成通项，再令字母的指数等于目标值。

避坑指南：- ${\mathrm{C}}_6^3=20$，不要与 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 混淆。 - 常数项为负值，因为 $(-2{)}^3=-8$，丢掉负号是本题最常见的失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合数的计算、同底数幂的运算法则、二项式定理的一般展开式。

结论推广：${\left(x+\frac{a}{x}\right)}^n$ 的常数项出现在 $k=\frac{n}{2}$ 处（$n$ 为偶数），其值为 ${\mathrm{C}}_n^{n/2}{a}^{n/2}$；$n$ 为奇数时不存在常数项。

方法推广：求“指定次数项”“有理项”“系数最大项”等各类问题，都从同一个通项式出发，只是对指数 $k$ 施加的限制条件不同。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结 类题演练 (Links)

• 2015-四川卷理-11 填-二项式定理

• 2013-大纲卷理-07 单-二项式系数与系数

• 2010-江西卷文-03 单-二项式特定项系数