2010-江西卷文-03 单-二项式特定项系数

本题导读

考查二项式定理。通项中 $(-x{)}^3$ 对应 $k=3$，系数 $-{\mathrm{C}}_{10}^3=-120$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） $(1-x{)}^{10}$ 的展开式中 $x^3$ 项的系数为()

A. $-720$　　　　　　B. $720$　　　　　　C. $120$　　　　　　D. $-120$

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k\cdot 1^{10-k}(-x{)}^k={\mathrm{C}}_{10}^k(-1{)}^k{x}^k$。
2. 令 $k=3$：系数 $={\mathrm{C}}_{10}^3(-1{)}^3$。
3. ${\mathrm{C}}_{10}^3=120$，故系数为 $-120$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$(1-x{)}^{10}$ 的二项展开式通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k(-x{)}^k={\mathrm{C}}_{10}^k(-1{)}^k{x}^k.$ 令 $k=3$，得 $x^3$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_{10}^3\cdot (-1{)}^3=120\times (-1)=-120.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理特定项系数

核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，令幂次匹配

避坑指南：$(1-x{)}^{10}$ 中 $(-x{)}^k$ 自带符号 $(-1{)}^k$，$k=3$ 时系数为负，漏掉负号就错选 C；${\mathrm{C}}_{10}^3=120$ 要算准。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“展开式中 $x^m$ 的系数”是二项式定理的最小闭环题。

结论推广：含负号底数时通项写成 ${\mathrm{C}}_n^k(-1{)}^k{x}^k$，符号与组合数分开处理。

方法推广：求”二项式系数”与”项的系数”是两回事：前者不带符号，后者带。

🔗【关联脉络】

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• 2011-重庆卷文-11 填-二项式特定项
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