2012-上海卷理-07 填-指数函数单调性

本题导读

本题考查含绝对值的指数型函数的单调性，以及由给定单调区间反求参数取值范围。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=e^{|x-a|}$（$a$ 为常数）.若 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上是增函数，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分段去绝对值：以 $x=a$ 为界把 $f(x)$ 写成两段表达式。
2. 逐段判断单调性：明确 $f(x)$ 的增区间恰为 $[a,+\infty )$。
3. 对齐区间求参数：由 $[1,+\infty )\subseteq [a,+\infty )$ 得到 $a$ 的范围。

✅【答案】

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$(-\infty ,1]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：把函数写成分段形式 $f(x)=e^{|x-a|}=\{\begin{array}{ll}{e}^{x-a},& x\ge a\\ e^{a-x},& x<a\end{array}$

第二步：分析各段的单调性 当 $x\ge a$ 时，$f(x)=e^{x-a}$，指数 $x-a$ 随 $x$ 增大而增大，结合底数 $e>1$ 可知该段单调递增。 当 $x<a$ 时，$f(x)=e^{a-x}$，指数 $a-x$ 随 $x$ 增大而减小，故该段单调递减。 因此 $f(x)$ 的单调递增区间恰为 $[a,+\infty )$。

第三步：由题设确定 $a$ 的范围 要求 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上是增函数，等价于 $[1,+\infty )\subseteq [a,+\infty )$，即 $a\le 1$ 当 $a=1$ 时，$f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增，端点可以取到。

故填入答案为：$(-\infty ,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的单调性分析，以及“给定区间单调”向“区间包含关系”的转化。

核心方法：“分段去绝对值”。按绝对值内部的正负把函数拆成两段，再逐段讨论增减性。

避坑指南：- 题设只要求 $[1,+\infty )$ 被包含在增区间内，并不要求两者相同，因此得到的是 $a\le 1$ 而非 $a=1$。 - 端点 $a=1$ 需单独检验，$f(x)$ 在该情形下确实单调递增，等号应保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值函数的分段表示、指数函数的单调性、复合函数“同增异减”法则。

结论推广：函数 $y=f(|x-a|)$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称，对称轴两侧的单调性恰好相反。

方法推广：外层函数是单调函数（如指数函数）的复合函数，只需要研究内层函数的单调区间，再依据“同增异减”判断整体的增减。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质 类题演练 (Links)

• 1985-上海文-06 填-指数函数值比较

• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间

• 2007-辽宁卷文-09 单-对数复合函数单调区间