2007-辽宁卷文-09 单-对数复合函数单调区间

本题导读

本题考查对数型复合函数，以及复合函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 函数 ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-5x+6\right)$ 的单调增区间为 ()

A. $\left(\frac{5}{2},+\infty \right)$　　　　B. $(3,+\infty )$　　　　C. $\left(-\infty ,\frac{5}{2}\right)$　　　　D. $(-\infty ,2)$

🔍【思路分析】

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1. 定义域：$x^2-5x+6>0$，即 $x<2$ 或 $x>3$。
2. 外层 $y={\log }_{\frac{1}{2}}u$ 递减，故复合函数增区间 = 内层 $u=x^2-5x+6$ 的减区间与定义域的交。
3. 内层在对称轴 $x=\frac{5}{2}$ 左侧递减。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

定义域：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0$，即 $x<2$ 或 $x>3$． 外层函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}u$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，由”同增异减”，复合函数的单调增区间是内层 $u=x^2-5x+6$ 的单调减区间与定义域的交集． $u$ 在 $\left(-\infty ,\frac{5}{2}\right]$ 上递减，与定义域取交得 $(-\infty ,2)$，故单调增区间为 $(-\infty ,2)$，选 D． （相应地，单调减区间为 $(3,+\infty )$。） 【注】部分汇编印本题干问”单调减区间”，此时答案为 $(3,+\infty )$（其选项 B）；本库按官方评分参考版本”单调增区间”录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数复合函数单调区间

核心方法：同增异减且先扣定义域

避坑指南：外层 log_{1/2} 递减，增区间=内层减区间∩定义域；必须先解 x²-5x+6>0，选项 (5/2,+∞) 是不看定义域设的陷阱；部分印本问”减区间”，答案相应为 (3,+∞)

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”对数函数的性质与复合函数”

结论推广：y=log_a f(x) 的单调性由 a 与 f(x) 的单调性”同增异减”合成，且每一步都限制在定义域内

方法推广：复合函数单调区间问题的固定顺序：定义域 → 内外层增减 → 取交集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间
• 2014-天津卷文-12 填-对数单调区间
• 2023-新高考I卷-04 单-复合函数单调性
• 2010-湖北卷文-05 单-对数不等式