2012-上海卷理-12 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的坐标运算，以及利用参数函数求取值范围。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\frac{\pi }{3}$，边 $AB,AD$ 的长分别为 $2,1$.若 $M,N$ 分别是边 $BC,CD$ 上的点，且满足 $\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{|\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{CD}|}$，则 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建立基底：以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 为基底，算出两基底的模与数量积。
2. 引入公共参数：由比例关系设 $\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{|\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{CD}|}=\lambda$，$\lambda \in [0,1]$。
3. 构造函数求值域：把 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}$ 表示为 $\lambda$ 的二次函数，再在 $[0,1]$ 上取最值。

✅【答案】

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$[2,5]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立基底并计算基本量 记 $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$，$\vec{b}=\overrightarrow{AD}$，则 $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=1$，且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \frac{\pi }{3}=2\times 1\times \frac{1}{2}=1$ 由平行四边形法则 $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，$\overrightarrow{CD}=-\vec{a}$。

第二步：用参数表示 $\overrightarrow{AM}$ 与 $\overrightarrow{AN}$ 设公共比值为 $\lambda \in [0,1]$，则 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=(\vec{a}+\vec{b})-\lambda \vec{a}=(1-\lambda )\vec{a}+\vec{b}$

第三步：计算数量积并求和最大值与最小值 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}=(\vec{a}+\lambda \vec{b})\cdot [(1-\lambda )\vec{a}+\vec{b}]$ $(1-\lambda )|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}+\lambda (1-\lambda )\vec{b}\cdot \vec{a}+\lambda |\vec{b}{|}^2$ 代入 $|\vec{a}{|}^2=4$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=1$，$|\vec{b}{|}^2=1$，得 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}=4(1-\lambda )+1+\lambda (1-\lambda )+\lambda =5-2\lambda -{\lambda }^2$ 令 $F(\lambda )=5-2\lambda -{\lambda }^2$，其图象开口向下，对称轴为 $\lambda =-1$，故 $F(\lambda )$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。 于是 $F(1)\le F(\lambda )\le F(0)$，即 $2\le \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}\le 5$

故填入答案为：$[2,5]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量数量积的坐标（基底）运算，以及二次函数在闭区间上的值域。

核心方法：“基底法”。选取已知模与夹角的两向量为基底，把其余向量线性表示后再整体展开。

避坑指南：- 注意 $\overrightarrow{CN}$ 的方向与 $\overrightarrow{CD}$ 一致（由 $C$ 指向 $D$），而 $\overrightarrow{CD}=-\vec{a}$，符号写错会得出错误的二次函数。 - 参数 $\lambda$ 的取值范围是 $[0,1]$ 而非 $(0,1)$，端点 $M=B$、$N=D$ 时也能取到最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量基本定理、数量积的运算律、二次函数在闭区间上的最值。

结论推广：若把两条动边上的比例各自设为 $\lambda$ 与 $\mu$，则数量积为关于 $\lambda ,\mu$ 的双线性函数，本题的“同比例”条件把二元问题降为一元。

方法推广：向量最值问题的通用路径是：建基底（或建系）$\to$ 引入参数 $\to$ 化为函数 $\to$ 在参数范围内求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算 类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-12 填-向量数量积

• 2021-上海卷-04 填-向量数量积

• 2012-浙江卷文-15 填-向量数量积中线模型