2012-上海卷理-21 解-抛物线应用题

本题导读

本题考查抛物线的实际应用。核心在于函数建模的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系（以 $1$ 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 $12$ 海里 $A$ 处，如图.现假设：

(1) 失事船的移动路径可视为抛物线 $y=\frac{12}{49}{x}^2$；

(2) 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；

(3) 救援船出发 $t$ 小时后，失事船所在位置的横坐标为 $7t$.

(1) 当 $t=0.5$ 时，写出失事船所在位置 $P$ 的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；

(2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

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🔍【思路分析】

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1. 确定坐标：由题设写出失事船位置 $A$ 与救援出发点，并把 $P$ 的坐标写成关于 $t$ 的函数。
2. 第一问直接代入：由 $t=0.5$ 求出 $P$，再由两点距离求速度大小与航向角。
3. 第二问建立距离函数：把 $t$ 小时后两船距离写成 $t$ 的函数，令速度为该距离除以 $t$ 后用基本不等式求最小值。

✅【答案】

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(1) 纵坐标为 $3$；速度大小为 $\sqrt{949}$ 海里/时，方向为北偏东 $\arctan \frac{7}{30}$

(2) 至少 $25$ 海里/时

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立坐标系并表示动点位置 以失事船当前位置为原点，正北方向为 $y$ 轴正方向。救援船位于正南方向 $12$ 海里处，故起点为 $A(0,-12)$。 $t$ 小时后失事船的横坐标为 $7t$，代入抛物线 $y=\frac{12}{49}{x}^2$ 得纵坐标为 $y=\frac{12}{49}\times (7t{)}^2=12t^2$ 即失事船在 $t$ 小时后的位置为 $P(7t,12t^2)$。

第二步：第一问——求 $P$ 的纵坐标 当 $t=0.5$ 时，$x=7\times 0.5=\frac{7}{2}$，于是 $y=\frac{12}{49}\times {\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{12}{49}\times \frac{49}{4}=3$ 故此时失事船所在位置 $P$ 的纵坐标为 $3$。

第三步：第一问——求速度的大小与方向 此时 $P\left(\frac{7}{2},3\right)$，救援船的航程为 $|AP|=\sqrt{{\left(\frac{7}{2}-0\right)}^2+(3+12{)}^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+225}=\sqrt{\frac{949}{4}}=\frac{\sqrt{949}}{2}$ 用时 $0.5$ 小时，故速度大小为 $v=\frac{|AP|}{0.5}=\sqrt{949}\text{海里/时}$ 设航向为北偏东 $\theta$，则 $\tan \theta =\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{\frac{7}{2}}{15}=\frac{7}{30}$ 故 $\theta =\arctan \frac{7}{30}$，即方向为北偏东 $\arctan \frac{7}{30}$。 说明：各出版版本的答案册对第一问的速度项给出了 $\frac{\sqrt{949}}{2}$，该值实为航程 $|AP|$；按 $v=\frac{|AP|}{t}$ 换算，时速应为 $\sqrt{949}$ 海里/时，两者请对照使用。

第四步：第二问——建立追及所需的速度函数 设救援船的时速为 $v$，要在 $t$ 小时后到达 $P(7t,12t^2)$，则 $v=\frac{|AP|}{t}=\frac{\sqrt{(7t{)}^2+{\left(12t^2+12\right)}^2}}{t}$ 记 $s=t^2>0$，则 $v^2=\frac{49s+144(s+1{)}^2}{s}=\frac{144s^2+337s+144}{s}=144s+337+\frac{144}{s}$

第五步：用基本不等式求最小值 由基本不等式 $144s+\frac{144}{s}\ge 2\sqrt{144s\times \frac{144}{s}}=288$ 等号成立当且仅当 $144s=\frac{144}{s}$，即 $s=1$（亦即 $t=1$）。此时 $v^2\ge 288+337=625$ 故 $v\ge 25$，即时速至少为 $25$ 海里才能追上失事船。

综上，(1) $P$ 的纵坐标为 $3$，救援船的航向为北偏东 $\arctan \frac{7}{30}$；(2) 追上失事船所需的最小时速为 $25$ 海里。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的实际应用建模、两点间距离公式、基本不等式求最值。

核心方法：“函数建模”。把追及问题转化为“距离除以时间”的函数最小值问题，再用基本不等式处理。

避坑指南：- 第二问是“追上”而非“追及某固定时刻”，必须让 $t$ 自由变化并对整个函数取最小值，不可只代入 $t=1$。 - 用基本不等式前要把 $v^2$ 整理成 $as+\frac{a}{s}+C$ 的形式，并明确写出等号成立的条件 $t=1$。 - 方向角的表述是“北偏东”，其正切值为横向位移比纵向位移，不要写成 $\frac{30}{7}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的标准方程、两点间距离公式、基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$。

结论推广：若质点沿 $(at,b{t}^2)$ 运动、另一质点从 $(0,-h)$ 沿直线匀速前往，则追及所需的最小速率可由 $v^2=a^2+2bh+\frac{h^2}{t^2}+b^2{t}^2$ 型的表达式配出。

方法推广：凡是“最小速度”“最早到达”类的追及问题，通用做法是先写出速度关于相遇时间 $t$ 的函数，再求该函数在 $t>0$ 上的最小值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

• 20.03 导数研究单调性与极值最值 类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值

• 2014-四川卷文-10 单-抛物线面积最值