2014-四川卷文-10 单-抛物线面积最值

本题导读

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$ 定出 $y_1{y}_2=-2$；面积和化为 $\frac{9}{8}{y}_1+(-y_2)$ 用基本不等式。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 已知 $F$ 是抛物线 $y^2=x$ 的焦点，点 $A,B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $△ABO$ 与 $△AFO$ 面积之和的最小值是()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $\frac{17\sqrt{2}}{8}$　　　　　　　D. $\sqrt{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

设 $t=y_1{y}_2$，则 $t^2+t=2$，由两侧定 $t=-2$；$S=(y_1-y_2)+\frac{1}{8}{y}_1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $A(x_1,y_1)$ 在 $x$ 轴上方（$y_1>0$），$B(x_2,y_2)$ 在下方，$x_1=y_1^2$，$x_2=y_2^2$。 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=(y_1{y}_2{)}^2+y_1{y}_2=2$，令 $t=y_1{y}_2$，得 $t^2+t-2=0$，$t=1$ 或 $t=-2$。 由 $A,B$ 位于 $x$ 轴两侧知 $t<0$，故 $y_1{y}_2=-2$。 $S_{△ABO}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}|y_1{y}_2|\cdot |y_1-y_2|=y_1-y_2$，$S_{△AFO}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\times y_1=\frac{1}{8}{y}_1$。 故面积和 $S=\frac{9}{8}{y}_1+(-y_2)$。令 $u=-y_2>0$，则 $y_{1}u=2$， $S=\frac{9}{8}{y}_1+u⩾2\sqrt{\frac{9}{8}{y}_1\cdot u}=2\sqrt{\frac{9}{4}}=3$， 当 $y_1=\frac{4}{3}$ 时取等号，最小值为 $3$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线与向量数量积、面积最值

2. 核心方法：纵坐标之积定弦，面积和化为单变量用基本不等式

3. 避坑指南：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$ 化为 $t^2+t=2$ 后必须按”$A,B$ 位于 $x$ 轴两侧”舍去 $t=1$ 取 $t=-2$；面积和的最小值在 $y_1=\frac{4}{3}$ 处取得 $3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线的标准方程、向量数量积与基本不等式。

2. 结论推广: $y^2=x$ 上两点纵坐标之积 $t=y_1{y}_2$ 给出 $x_1{x}_2=t^2$；$△AFO$ 面积 $=\frac{1}{8}|y_1|$。

3. 方法推广: “抛物线 + 数量积”先整体设 $t=y_1{y}_2$，再把面积和写成关于 $y_1$ 的函数求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-10 单-抛物线焦半径
• 2014-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦