2012-北京卷文-03 单-几何概型面积

本题导读

本题考查几何概型，以及圆与正方形的面积。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 设不等式组 $\{\begin{array}{l}0⩽x⩽2,\\ 0⩽y⩽2\end{array}$ 表示的平面区域为 $D$. 在区域 $D$ 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 $2$ 的概率是()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi -2}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　D. $\frac{4-\pi }{4}$

🔍【思路分析】

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正方形面积 $4$，圆内部分 $\pi$，有利面积 $4-\pi$，概率 $\frac{4-\pi }{4}$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

区域 $D$ 是边长为 $2$ 的正方形，面积 $S=4$。

到原点距离不超过 $2$ 的点在以原点为圆心、$2$ 为半径的圆内；该圆与正方形重叠部分是圆的 $\frac{1}{4}$，面积为 $\frac{1}{4}\pi \times 2^2=\pi$。

故距离大于 $2$ 的部分面积为 $4-\pi$，所求概率 $P=\frac{4-\pi }{4}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（面积比）；圆与正方形的组合图形面积

核心方法：用补集思想：有利面积 = 正方形面积 − 四分之一圆面积

避坑指南：“距离大于 $2$“取补集算更简便；圆心在原点、半径恰为 $2$，与正方形重叠部分恰为四分之一圆，别误算成半圆或整圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面积型几何概型经典题，与 2013 年湖南卷文第 9 题、2013 年湖北卷文第 15 题（几何概型）同族。

结论推广：一般地，“区域 $D$ 内取点满足某条件”的概率 = 有利区域面积与 $D$ 面积之比；边界条件（大于/不小于）不影响概率。

方法推广：几何概型先辨认测度（长度/面积/体积），再尽量用补集化简有利区域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-09 单-几何概型概率
• 2013-湖北卷文-15 填-几何概型长度