2009-山东卷文-11 单-几何概型

本题导读

考查几何概型。满足条件的区间总长 $\frac{\pi }{3}$，区间总长 $\pi$，概率 $\frac{1}{3}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上随机取一个数 $x$，$\cos x$ 的值介于 $0$ 到 $\frac{1}{2}$ 之间的概率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{2}{\pi }$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cos x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 且 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 等价于 $|x|\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$。
2. 满足条件的 $x$ 的测度为 $2\times \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}$。
3. 概率 $=\frac{\pi /3}{\pi }=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由余弦函数的性质，$x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $\cos x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 等价于 $\frac{\pi }{3}⩽|x|⩽\frac{\pi }{2}$， 即 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{3}\right]\cup \left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$，其长度为 $2\times \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$。 由几何概型，所求概率为 $\frac{\pi /3}{\pi }=\frac{1}{3}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型与余弦函数

核心方法：把”函数值范围”翻译回”自变量区间”，用长度比

避坑指南：$\cos x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 内对应 $|x|\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$，长度 $\frac{\pi }{3}$，概率 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何概型先明确测度是长度、面积还是体积，再算分子分母。

结论推广：$\cos x$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上非负且单调（各半轴），解不等式时画图最稳。

方法推广：区间是关于原点对称的，别只算右半边就写答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-14 填-几何概型弧长
• 2009-辽宁卷文-09 单-半圆几何概型
• 2013-湖北卷文-15 填-几何概型长度
• 2012-北京卷文-03 单-几何概型面积