2012-北京卷理-04 单-程序框图循环

本题导读

本题考查当型循环。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 值为()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $16$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化变量：进入循环前，$k=1$，$s=1$。
2. 条件判定：检查 $k<3$ 是否成立。若为“是”，则执行循环体；若为“否”，则跳出循环。
3. 循环体执行：按照 $s=s\times 2^k$ 和 $k=k+1$ 顺次更新变量值，并重新回到判定框。
4. 终止追踪：直到 $k⩾3$ 时，执行“否”分支，输出当前 $s$ 的值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

变量逐步递推过程

• 初始化状态： $k=1,s=1$

• 第 1 次循环判定与执行： 判定 $k=1<3$ 成立，执行“是”分支进入循环体： $s=s\times 2^k=1\times 2^1=2$ $k=k+1=1+1=2$

• 第 2 次循环判定与执行： 重新判定，此时 $k=2<3$ 成立，继续执行“是”分支： $s=s\times 2^k=2\times 2^2=2\times 4=8$ $k=k+1=2+1=3$

• 第 3 次循环判定： 重新判定，此时 $k=3$，条件 $k<3$ 不成立（$3<3$ 为假），执行“否”分支，跳出循环。

输出结论

程序跳出循环后，直接输出当前的变量 $s$ 的值： $\text{输出 }s=8$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：当型循环结构中判断框条件的临界拦截；多变量在循环体内的级联迭代更新。
2. 核心方法：表格状态追踪法（在草稿纸上列出每轮循环后 $k$ 与 $s$ 的值）。
3. 避坑指南：

• 混淆变量更新的先后顺序：在循环体内，必须先执行 $s=s\times 2^k$ 之后，再执行 $k=k+1$。如果在计算 $s$ 时错误动用了更新后的 $k$，会导致计算结果偏大。
• 循环次数多算或少算一轮（最常见临界错误）：本题判定条件为 $k<3$，当 $k$ 自增到 $3$ 时已经不能再进入循环。如果粗心多算一轮，会得出 $s=8\times 2^3=64$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第4题，属于算法初步章节的经典必考基础题，旨在考查考生对程序流程控制的严谨追踪能力。
2. 结论推广： 本程序框图本质上是在计算一个非等比数列的累乘项。其数学表达式可以抽象为： $S_n=S_0\times 2^1\times 2^2\times \cdots \times 2^{n-1}=S_0\times 2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 本题中初始值 $S_0=1$，判断框限制为 $k<3$，即循环一共成功执行了 $n=2$ 轮。 直接代入不变量公式： $S_2=1\times 2^{\frac{2\times (2-1)}{2}}=2^1\times 2^2=8$ 这表明当型循环的输出结果完全由循环总次数决定，可据此建立解析结构进行快速复核。

🔗【关联脉络】

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