本题导读
本题考查排列与组合的综合应用，以及分类加法计数原理。
📌【题干】
Question
（2012年北京卷(理)） 从 中选一个数字，从 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 明确目标数特征与限制条件：
- 三位数由三个位置组成：百位（最高位）、十位、个位。
- 限制一（数字来源）：包含一个偶数（来自 ），两个奇数（来自 ）。
- 限制二（最高位约束）：百位数字绝对不能为 。
- 限制三（奇数定义约束）：个位数字必须是奇数。
- 确定解题突破口（特殊位置/特殊元素优先）：
- 偶数集合中的“”是影响百位和个位的双重特殊元素。因此，最稳健的策略是根据选出的偶数是 还是 展开分类讨论。
- 分类推导：
- 类别一：选出的偶数是 。由于 不能在百位，也不能在个位（必须是奇数），故 只能固定放置在十位。剩下两个位置由奇数排列。
- 类别二：选出的偶数是 。此时 的位置不影响最高位是否为 ，需要根据 放置在百位还是十位进行细分步讨论。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
第一步：分类讨论推导
组成三位数的三个数字由 中的两个奇数和 中的一个偶数混合构成。要使该三位数为奇数，个位必须分配给奇数。
根据所选偶数的不同，分以下两种情况讨论：
情况一：选出的偶数是 此时组成的三个数字为 以及 中的某两个奇数。
- 个位放置：必须为奇数，从选出的两个奇数中任选一个，有 种选法；
- 百位放置：不能为 ，且个位已占用一个奇数，故百位只能放置剩下的那个奇数，有 种选法；
- 十位放置：只能放置剩下的数字 ，有 种选法。
或者直接从位置角度看：数字 不能在百位（最高位非0），也不能在个位（必须是奇数），所以 必须固定在十位。 此时，选出的两个奇数在百位和个位进行全排列，从 个奇数中选出 个进行排列，种数为：
情况二：选出的偶数是 此时组成的三个数字为 以及 中的某两个奇数。 因为个位必须是奇数，所以数字 只能放置在百位或十位：
- 若 在百位：百位固定。个位和十位由选出的两个奇数填充（即从 个奇数中选 个放入十位和个位），种数为 种；
- 若 在十位：十位固定。百位和个位由选出的两个奇数填充（同上），种数为 种。
本情况下的奇数总个数为：
第二步：求和输出最终结论
根据分类加法计数原理，将两种互斥情况下的方法数进行加总：
故选 B
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：分类计数原理与排列组合公式的混合应用；特殊数字 的排位规则。
- 核心方法：元素位置锁定法（通过限制条件强行固定特殊元素的位置）。
- 避坑指南：
- 忽略了百位不能为 的隐藏条件：如果直接先安排个位奇数（），再把偶数插入，容易漏掉 掉在百位组成两位数的非法情况。
- 在情况二中误认为 也可以放在个位：题目设问明确要求组成“奇数”，个位必须是 之一。数字 作为偶数，空间位置被刚性排除在个位之外。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第6题，是典型的排列组合应用题。母题来源于人教A版教材《选择性必修第三册》第六章“排列与组合”课后的数字组数经典练习。
- 结论推广： 这类问题可推广为**“带零偶数与奇数混合组奇数模型”**： 若从包含 的 个偶数中选 个，从 个奇数中选 个组成无重复的 位奇数。 核心算法恒表现为：以选出的偶数是否为 作为分水岭。
- 选出 时： 不能在首位和末位，有 个位置可选，其余奇数排列；
- 选出非 偶数时：该偶数不能在末位，有 个位置可选，其余奇数排列。 通过这种结构化的分类，可以将任何高位数的同类组数问题化简为刚性的代数递推式。
🔗【关联脉络】
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