2011-大纲卷文-09 单-计数原理选课

本题导读

本题考查分类加法计数原理，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 ()

A. $12$ 种　　　　　B. $24$ 种　　　　　C. $30$ 种　　　　　D. $36$ 种

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先选 2 人选甲 ${\mathrm{C}}_4^2$
2. 步骤2：再让其余 2 人从乙、丙中各选 1 门 $2^2$

✅【答案】

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B共有 $24$ 种

✍【详细解析】

Abstract

第一步：从 4 人中选出 2 人修甲，${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。

第二步：其余 2 人各自从乙、丙两门中任选 1 门，每人 $2$ 种，共 $2^2=4$ 种。

由分步乘法原理，$6\times 4=24$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合的综合应用（先组合后分步）

核心方法：“恰有 $k$ 个”类问题：先定出这 $k$ 个对象（组合），剩余对象再独立分步

避坑指南：“恰有 2 人”排除了 3 人选甲的情形，不能直接算 ${\mathrm{C}}_4^2\times 3^2$；剩余两人也不能再选甲（否则不是恰有 2 人）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：计数原理应用题与 2013-山东卷理-10（分类加法与分步乘法计数原理）、2026-新高考II卷-06（排列组合）同族。

结论推广：推广：$n$ 人每人从 $m$ 门中选 1 门、恰 $k$ 人选甲的选法为 ${\mathrm{C}}_n^k(m-1{)}^{n-k}$；用对立事件可验证总量 $3^4$ 的分配。

方法推广：计数小题：先”选人（组合）“再”选课（乘方）“，两步相乘；对称位置（乙、丙可互换）不影响计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-10 单-分类加法与分步乘法计数原理
• 2026-新高考II卷-06 单-排列组合