2012-北京卷理-17 解-独立性检验

本题导读

本题考查频数分布表与频率。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 $1000$ 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

| | “厨余垃圾”箱 | “可回收物”箱 | “其他垃圾”箱 | | 厨余垃圾 | $400$ | $100$ | $100$ | | 可回收物 | $30$ | $240$ | $30$ | | 其他垃圾 | $20$ | $20$ | $60$ |

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 $a,b,c$，其中 $a>0$，$a+b+c=600$.当数据 $a,b,c$ 的方差 $s^2$ 最大时，写出 $a,b,c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^2$ 的值. （求：$s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\right]$，其中 $\bar{x}$ 为数据 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的平均数）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析第（1）问：投放正确的厨余垃圾是指“厨余垃圾”投放到“厨余垃圾”箱中。从表中横向求出厨余垃圾的总量，再用正确投放的频数除以总频数求得频率。
2. 分析第（2）问：投放错误的生活垃圾总量，等于抽样总数 $1000$ 吨减去三类垃圾箱中各自正确投放的垃圾总量。利用错误总量除以总样本量 $1000$ 估计概率。
3. 分析第（3）问：已知三项数据个数 $n=3$，其和为 $600$，易得平均数 $\bar{x}=200$。利用方差公式展开为关于 $a^2+b^2+c^2$ 的函数，结合变量的非负约束及二元交叉项恒大于等于 0 的代数性质，当数据最两极分化时方差最大，由此锁定极值点。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $\frac{3}{10}$

(3) $a=600,b=0,c=0$ 时 $s^2$ 最大为 $80000$

✍【详细解析】

Abstract

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率

由统计表横向相加可知，抽查的厨余垃圾总数量为： $400+100+100=600\text{ 吨}$ 其中，投放到“厨余垃圾”箱中的正确数量为 $400$ 吨。

因此，厨余垃圾投放正确的频率为： $P_1=\frac{400}{600}=\frac{2}{3}$ 以此频率估计，厨余垃圾投放正确的概率为 $\frac{2}{3}$。

（2）试估计生活垃圾投放错误的概率

本题总样本量为 $1000$ 吨。其中分类投放正确的垃圾共有三类：

• 厨余垃圾投放正确（在“厨余垃圾”箱）：$400$ 吨
• 可回收物投放正确（在“可回收物”箱）：$240$ 吨
• 其他垃圾投放正确（在“其他垃圾”箱）：$60$ 吨

投放正确的生活垃圾总吨数为： $400+240+60=700\text{ 吨}$

投放错误的生活垃圾总吨数为： $1000-700=300\text{ 吨}$

因此，生活垃圾投放错误的频率为： $P_2=\frac{300}{1000}=\frac{3}{10}$ 以此频率估计，生活垃圾投放错误的概率为 $\frac{3}{10}$（或 $0.3$）。

（3）求解方差最大时的参数及方差值

由已知条件 $a+b+c=600$，这组离散数据共有 $n=3$ 个。 这组数据的平均数 $\bar{x}$ 为： $\bar{x}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{600}{3}=200$

将平均数代入方差计算公式中展开： $s^2=\frac{1}{3}\left[(a-200{)}^2+(b-200{)}^2+(c-200{)}^2\right]$ $s^2=\frac{1}{3}\left[(a^2-400a+40000)+(b^2-400b+40000)+(c^2-400c+40000)\right]$ $s^2=\frac{1}{3}\left[a^2+b^2+c^2-400(a+b+c)+120000\right]$

将 $a+b+c=600$ 代入上式： $s^2=\frac{1}{3}\left[a^2+b^2+c^2-400\times 600+120000\right]=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2-120000\right)\dots \dots \text{(1)}$

要使方差 $s^2$ 最大，等价于使平方和 $a^2+b^2+c^2$ 达到最大值。 由于满足以下多项式恒等变换： $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $600^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)⟹a^2+b^2+c^2=360000-2(ab+bc+ca)$

由于垃圾投放量具有非负的物理现实约束，即 $a⩾0,b⩾0,c⩾0$，且已知 $a>0$。 要使 $a^2+b^2+c^2$ 最大，必须使交叉乘积项 $2(ab+bc+ca)$ 达到最小值 $0$。 当且仅当三个变量中有两个变量取值为 $0$ 时，交叉项为 0。由于限定 $a>0$，只能让 $b=0$ 且 $c=0$。 此时，唯一的非零变量占有全部总和，即 $a=600$。

当 $a=600,b=0,c=0$ 时，平方和取得全局最大值： ${\left(a^2+b^2+c^2\right)}_{\max }=600^2+0^2+0^2=360000$

将该最大值代回 ① 式，求得最大方差值： $s_{\max }^2=\frac{1}{3}\left(360000-120000\right)=\frac{1}{3}\times 240000=80000$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双向交叉频数表的行列数据提取；离散型方差公式的代数重构；变量边界下的最值分析。
2. 核心方法：补集思想（计算投放错误时用总数减去正确数）；极端边界法（方差大小代表数据的离散程度，数据越集中在单点、其余点为0，离散度最高，方差最大）。
3. 避坑指南：

• 第（1）问求的是厨余垃圾投放正确的概率，分母必须是厨余垃圾的总和 $600$ 吨，而不能顺手写成全样本量 $1000$ 吨。
• 第（3）问展开方差后，不要盲目使用均值不等式求最小值。题目要求的是最大值，要在非负闭区间上寻找抛物线的端点值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第17题。是一道将概率统计基础知识与现实生活环保热点相结合的综合应用题。
2. 结论推广： 在信息论与泛函分析中，本题第（3）问结论可以推广为**“有限有界变量和约束下的方差极大值定理”**： 已知 $n$ 个非负实数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 满足刚性线性总和约束 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i=S$。 若要使这组数据的方差 $s^2$ 达到最大，其数据的拓扑分布必发生彻底的“凝聚破缺”：其中某一个变量独占全部权重 $S$，其余 $n-1$ 个变量强行退化为 $0$。 此时，最大方差不变量公式可直接固化为仅与总和 $S$ 和数据个数 $n$ 相关的代数结构： $s_{\max }^2=\frac{S^2(n-1)}{n^2}$ 本题中 $S=600,n=3$，直接代入此推广不变量模型： $s_{\max }^2=\frac{600^2\times (3-1)}{3^2}=\frac{360000\times 2}{9}=40000\times 2=80000$ 利用此不变量模型，可在考场上直接免去多项式展开，心算锁定最终方差解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式 类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-06 填-平均数

• 2008-上海卷文-10 填-中位数与方差最小

• 2008-山东卷文-09 单-频数表标准差