2008-上海卷文-10 填-中位数与方差最小

本题导读

考查中位数与方差。中位数定 $a+b=21$；方差最小要求偏离均值的平方和最小，$a=b=10.5$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 已知总体的各个体的值由小到大依次为 $2$，$3$，$3$，$7$，$a$，$b$，$12$，$13.7$，$18.3$，$20$，且总体的中位数为 $10.5$. 若要使该总体的方差最小，则 $a$、$b$ 的取值分别是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $10$ 个数的中位数为第 $5$、$6$ 个数的平均：$\frac{a+b}{2}=10.5$，即 $a+b=21$。
2. 方差 $=\frac{1}{10}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$，$\bar{x}$ 由全体确定；$a+b$ 固定时 $a^2+b^2$ 在 $a=b$ 时最小。
3. 且 $a=b=10.5$ 与排序位置（$7<a⩽b<12$）相容。
4. $a=b=10.5$。

✅【答案】

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$a=10.5$，$b=10.5$

✍【详细解析】

Abstract

共 $10$ 个数，中位数为第 $5$ 个与第 $6$ 个数的平均值： $\frac{a+b}{2}=10.5\Rightarrow a+b=21.$ 总体方差 $s^2=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{x}_i^2-{\bar{x}}^2,$ 其中均值 $\bar{x}$ 在 $a+b$ 固定时也固定. 于是方差最小等价于 $a^2+b^2$ 最小. 由 $a+b=21$，$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$，在 $a=b=10.5$ 时 $ab$ 最大、$a^2+b^2$ 最小. 且 $a=b=10.5$ 满足排序 $7<a⩽b<12$. 所以 $a=b=10.5$. 故答案为 $a=10.5$，$b=10.5$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中位数与方差最小

核心方法：$\frac{a+b}{2}=10.5$；$a=b=10.5$ 时 $a^2+b^2$ 最小，方差最小

避坑指南：偶数个数据的中位数是中间两数平均；方差 $=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$，均值固定时方差由平方和决定；和固定时两数相等平方和最小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“中位数定和、方差定分布”是统计小题，2009 上海文第 14 题、2010 浙江文第 11 题同型。

结论推广：$s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$；$a^2+b^2⩾\frac{(a+b{)}^2}{2}$（均值不等式）。

方法推广：平方和最小的一步可用均值不等式 $ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$ 快速书写；验证 $a=b=10.5$ 未破坏排序（$7<10.5<12$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-14 填-格点中位数选址
• 2010-浙江卷文-11 填-茎叶图中位数
• 2010-陕西卷文-04 单-平均数与标准差
• 2012-广东卷文-13 填-平均数与方差