本题导读
本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法、联立法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2012年北京卷(理)） 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 短轴的一个端点是圆 的圆心.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的上顶点，求 面积的最大值.
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析第（1）问（求椭圆方程）：
- 首先处理圆的方程，通过配方法 得到圆心为 。
- 依据题意，椭圆短轴的一个端点是该圆心，且 （焦点在 轴上），故上顶点或下顶点为 ，直接得到 。
- 结合离心率 以及不变量关系 ，联立解出 和 ，从而确定标准方程。
- 分析第（2）问（直线与椭圆相交的最值）：
- 由第（1）问可知椭圆的上顶点为 。由于直线 过点 且与椭圆交于两点，其斜率显然存在，可设直线方程为 。
- 将直线方程与椭圆方程联立，消去 得到关于 的一元二次方程，利用判别式 确定斜率 的取值范围。
- 设 ，写出韦达定理。
- 的面积可以看作：以 为底，点 到直线 的距离 为高。
- 运用弦长公式求出 ，运用点到直线距离公式求出 。进而将面积 表示为关于 的代数式，通过换元法或均值不等式求解其最大值。
✅【答案】
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(1)
(2)
✍【详细解析】
Abstract
（1）求椭圆 的方程
将圆的方程 进行配方： 由此可知，该圆的圆心坐标为 。
因为椭圆 短轴的一个端点是该圆心， 所以椭圆的短半轴长为：
又因为椭圆的离心率 ， 根据椭圆中 的几何不变量关系：
由离心率平方公式：
联立以上两式： 从而求得：
因此，椭圆 的标准方程为：
（2）求 面积的最大值
由（1）可知，椭圆 的上顶点坐标为 。 过点 的直线 与 轴不重合，故可设直线 的方程为：
将直线 的方程代入椭圆 的方程中：
由于直线 与椭圆 交于 两点，则该一元二次方程的判别式 必须严格大于 0：
设 ，由韦达定理可得：
计算两交点横坐标的差值绝对值 ：
根据弦长公式，底边 的长度为：
直线 的通用方程可改写为一般式： 。 根据点到直线的距离公式，顶点 到直线 的距离（即 的高 ）为：
因此， 的面积 可以表示为：
为了求解该代数式的最大值，采用换元法。 令 ，则有 。 代入面积公式中，消去自变量 ：
由于 ，应用基本不等式（均值不等式）：
当且仅当 时，分母取得最小值。 此时对应的斜率平方为： 显然 ，完全符合 ① 式判别式的约束条件。
因此， 面积 的最大值为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：椭圆几何性质与圆方程的有机结合；直线与椭圆位置关系的传统设线、联立、代换流形；解析几何中三角形面积的通用构造。
- 核心方法：整体换元法（令根式为 将分子齐次化，转化为对勾函数求最值）。
- 避坑指南：
- 直线设法的选择：本题点 在 轴上，若设 ，需要注意其无法表示 轴本身。由于 轴与椭圆交于 和 ，此时与 三点共线无法构成三角形，面积为 0，故不影响最大值的求解，但思维上需严谨。若设 则可规避此讨论。
- 别忘校验判别式：求出最值点 后，必须回头代入判别式约束 中进行安全验证。若不满足，最值只能在边界处取得。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第19题，是全卷解析几何章节的压轴大题。题目将圆的标准方程、椭圆的标准方程、弦长公式、点面距离以及代数基本不等式完美熔于一炉，层次分明，对考生的多项式运算抗压能力有极高的要求。
结论推广： 在仿射几何与射影变换流形中，第二问的面积最值模型可以推广为**“椭圆定轴割线三角形面积极大值定理”**： 设椭圆方程为 ， 为其上顶点。现有一动割线 恒过其对称轴上的定点 且与椭圆交于 两点。 通过仿射变换 将椭圆拉伸变换为单位正圆 ，此时三角形的面积按比例缩放，其极大值的代数不变量完全由定点与顶点的相对几何高度比值决定，可作为快速心算复核的工具。
🔗【关联脉络】
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