2021-天津卷-18 解-椭圆综合

本题导读

本题考查圆锥曲线。核心在于联立方程组法、切线公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）18. 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$，上顶点为 $B$，离心率为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且 $|BF|=\sqrt{5}$．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$，过 $N$ 与 $BF$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$．若 $MP\parallel BF$，求直线 $l$ 的方程．

• 第一问（求方程）： 利用椭圆的基础定义。焦点到上顶点的距离 $|BF|=a$，直接求出 $a$；再结合离心率 $e=\frac{c}{a}$ 求出 $c$；最后用 $b^2=a^2-c^2$ 求出 $b$。

• 第二问（直线方程）： 1. “唯一公共点”即直线与椭圆相切。可以设切点 $M(x_0,y_0)$，利用切线方程公式直接写出直线 $l$ 的方程（解析中给出了联立 $\Delta =0$ 的严格推导证明）。 2. 根据直线 $l$ 得到点 $N$ 的坐标。 3. 利用互相垂直斜率相乘为 $-1$ ($k_{NP}\cdot k_{BF}=-1$) 得到直线 $NP$ 的方程，进而求出 $P$ 点坐标。 4. 利用平行斜率相等 ($k_{MP}=k_{BF}$)，建立关于 $x_0,y_0$ 的等式，结合点 $M$ 在椭圆上，解出切点坐标，最终还原出直线 $l$ 的方程。

（1）易知右焦点 $F(c,0)$、上顶点 $B(0,b)$， 故 $|BF|=\sqrt{c^2+b^2}=a=\sqrt{5}$。 因为椭圆的离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故 $c=a\cdot e=\sqrt{5}\times \frac{2\sqrt{5}}{5}=2$。 则 $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5-4}=1$。 因此，椭圆的方程为 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$。

（2）设点 $M(x_0,y_0)$ 为椭圆 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 上一点。 先证明直线 $MN$（即直线 $l$）的方程为 $\frac{x_{0}x}{5}+y_{0}y=1$： 联立方程组：

$$\{\begin{array}{l}\frac{x_{0}x}{5}+y_{0}y=1\\ \frac{x^2}{5}+y^2=1\end{array}$$

消去 $y$ 并整理得：$x^2-2x_{0}x+x_0^2=0$。 此时 $\Delta =(-2x_0{)}^2-4x_0^2=0$， 因此，椭圆在点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程确实为 $\frac{x_{0}x}{5}+y_{0}y=1$。

在直线 $l$ 的方程中，令 $x=0$，可得 $y=\frac{1}{y_0}$。 由题意直线与 $y$ 轴正半轴相交，可知 $y_0>0$，即点 $N\left(0,\frac{1}{y_0}\right)$。 直线 $BF$ 的斜率为 $k_{BF}=-\frac{b}{c}=-\frac{1}{2}$。 因为 $NP\perp BF$，所以直线 $PN$ 的斜率为 $2$。 直线 $PN$ 的方程为 $y=2x+\frac{1}{y_0}$。 在直线 $PN$ 的方程中，令 $y=0$，可得 $x=-\frac{1}{2y_0}$，即点 $P\left(-\frac{1}{2y_0},0\right)$。

因为 $MP\parallel BF$，则 $k_{MP}=k_{BF}$， 即：

$$\frac{y_0-0}{x_0-\left(-\frac{1}{2y_0}\right)}=\frac{y_0}{x_0+\frac{1}{2y_0}}=\frac{2y_0^2}{2x_0{y}_0+1}=-\frac{1}{2}$$

整理可得：$4y_0^2=-2x_0{y}_0-1$。 又因为点 $M$ 在椭圆上，满足 $\frac{x_0^2}{5}+y_0^2=1$，即 $1=\frac{x_0^2+5y_0^2}{5}$。 将 $1$ 代入上式得：$4y_0^2=-2x_0{y}_0-\frac{x_0^2+5y_0^2}{5}$。 两边同乘 $5$ 并移项整理，得：$x_0^2+10x_0{y}_0+25y_0^2=0$，即 $(x_0+5y_0{)}^2=0$。 所以，$x_0=-5y_0$。

将其代入 $\frac{x_0^2}{5}+y_0^2=1$ 中，得 $\frac{25y_0^2}{5}+y_0^2=6y_0^2=1$。 因为 $y_0>0$，故 $y_0=\frac{\sqrt{6}}{6}$，此时 $x_0=-\frac{5\sqrt{6}}{6}$。 所以，直线 $l$ 的方程为 $-\frac{5\sqrt{6}}{30}x+\frac{\sqrt{6}}{6}y=1$。 化简即得：$x-y+\sqrt{6}=0$。

🔍【思路分析】

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椭圆方程为𝑥25+𝑦2=1；直线𝑙的方程为𝑥−𝑦+√6=0.

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{5}+y^2=1$

(2) $x-y+\sqrt{6}=0$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆方程为𝑥25+𝑦2=1；直线𝑙的方程为𝑥−𝑦+√6=0.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 椭圆的“焦点三角形”基本量： $|BF|$ (上顶点到焦点的距离) 在椭圆中恒等于半长轴 $a$。这是一个常考的几何性质，快速得出 $a$ 的值。
• 平行与垂直的斜率关系： 设两直线斜率分别为 $k_1,k_2$。若互相垂直，则 $k_1\cdot k_2=-1$；若互相平行，则 $k_1=k_2$。
• 代数齐次化思想： 在解 $(x_0+5y_0{)}^2=0$ 时，巧妙地将常数 $1$ 替换成了椭圆方程 $\frac{x_0^2+5y_0^2}{5}$，实现了常数项的消去，凑成了完全平方式。这是圆锥曲线化简的极高级技巧。

本题中如果不加证明直接写切线方程，可能会被扣一点步骤分，但在草稿纸上用于验算或在选填题中遇到，此公式能省下大量时间。请务必记住这个**“换位法则”**：

1. 椭圆： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程为： $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
2. 双曲线： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程为： $\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
3. 抛物线： $y^2=2px$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程为： $y_{0}y=p(x+x_0)$ (注：抛物线是将 $y^2$ 换成 $y_{0}y$，把 $x$ 换成 $\frac{x+x_0}{2}$)

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷理-19
• 2012年陕西卷理-20
• 2012年浙江卷理-9