2012-四川卷文-21 解-双曲线轨迹与比值范围

本题导读

本题考查轨迹方程的求法。核心在于坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 如图，动点 $M$ 与两定点 $A(-1,0)$，$B(1,0)$ 构成 $△MAB$，且直线 $MA$，$MB$ 的斜率之积为 $4$.设动点 $M$ 的轨迹为 $C$.

(1)求轨迹 $C$ 的方程；

(2)设直线 $y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴相交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$，$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $\frac{|PR|}{|PQ|}$ 的取值范围.

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🔍【思路分析】

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（1）由 $\frac{y^2}{(x+1)(x-1)}=4$ 得轨迹 $x^2-\frac{y^2}{4}=1$（除去两顶点）；（2）令 $u=\frac{m}{\sqrt{m^2+3}}\in (0,1)$，比值 $=\frac{u+2}{2-u}$ 单调递增，剔除 $m=1$ 对应的 $\frac{5}{3}$ 后取值范围为 $\left(1,\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{5}{3},3\right)$。

✅【答案】

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(1)$x^2-\frac{y^2}{4}=1$（且 $y\ne 0$，即除去两顶点 $(\pm 1,0)$）；(2)$\left(1,\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{5}{3},3\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $M(x,y)$。因 $M$、$A$、$B$ 构成三角形，故 $y\ne 0$，且 $x\ne \pm 1$。

两直线斜率分别为 $k_{MA}=\frac{y}{x+1}$，$k_{MB}=\frac{y}{x-1}$。

由斜率之积为 $4$：$\frac{y^2}{(x+1)(x-1)}=4$，即 $y^2=4\left(x^2-1\right)$。

所以轨迹 $C$ 的方程为 $x^2-\frac{y^2}{4}=1$，但须除去两个顶点 $(\pm 1,0)$（此时 $M$ 与 $A$ 或 $B$ 重合，不成三角形）。

（2）$y=x+m$ 与 $y$ 轴交于 $P(0,m)$。代入 $x^2-\frac{y^2}{4}=1$：

$4x^2-(x+m{)}^2=4$，即 $3x^2-2mx-\left(m^2+4\right)=0$。

记 $s=\sqrt{m^2+3}$，则两个交点的横坐标为

$x_{-}=\frac{m-2s}{3}<0$，$x_{+}=\frac{m+2s}{3}>0$。

直线 $y=x+m$ 上点 $(x,x+m)$ 到 $P(0,m)$ 的距离为 $\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}|x|$。

又 $x_{+}+x_{-}=\frac{2m}{3}>0$，故 $x_{+}>-x_{-}$，即较远的交点对应 $x_{+}$（记为 $R$），较近的对应 $x_{-}$（记为 $Q$）。所以

$\frac{|PR|}{|PQ|}=\frac{x_{+}}{-x_{-}}=\frac{m+2s}{2s-m}$。

令 $u=\frac{m}{s}=\frac{m}{\sqrt{m^2+3}}$，由 $m>0$ 知 $0<u<1$。分子分母同除以 $s$ 得

$\frac{|PR|}{|PQ|}=\frac{u+2}{2-u}$。

函数 $g(u)=\frac{u+2}{2-u}$ 在 $(0,1)$ 上单调递增（$g^{\prime }(u)=\frac{4}{(2-u{)}^2}>0$），故其值域为 $\left(g(0),g(1)\right)=\left(1,3\right)$。

但须排除不合题意的 $m$：当 $m=1$ 时，$s=\sqrt{4}=2$，$x_{-}=\frac{1-4}{3}=-1$，即较近的交点为 $(-1,0)$，它是轨迹 $C$ 应除去的顶点，此时 $Q$ 不在轨迹上。

当 $m=1$ 时 $u=\frac{1}{2}$，对应比值为 $\frac{\frac{1}{2}+2}{2-\frac{1}{2}}=\frac{5}{3}$，故 $\frac{5}{3}$ 应剔除。

所以 $\frac{|PR|}{|PQ|}$ 的取值范围为 $\left(1,\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{5}{3},3\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：用斜率关系求轨迹方程；直线与双曲线相交的位置关系；分式函数的值域

核心方法：“斜率之积为定值”直接化为关于 $x$、$y$ 的方程；求比值范围时把参数统一成 $u=\frac{m}{\sqrt{m^2+3}}$ 并考察单调性

避坑指南：轨迹方程必须注明 $y\ne 0$（除去两顶点），否则（2）中 $m=1$ 的情形会被误当成合法取值，最终答案就会漏掉”剔除 $\frac{5}{3}$“这一步；另外 $|PQ|<|PR|$ 只是用来指明哪个交点较近，不影响比值表达式的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹方程与圆锥曲线范围综合题，与 2012 年上海卷文第 22 题、2013 年陕西卷文第 22 题同族。

结论推广：与两定点连线斜率之积为 $k$（$k<0$）的点的轨迹是椭圆（除两定点）；$k>0$ 时是双曲线 $x^2-\frac{y^2}{k}=1$（除两顶点）。求比值或长度范围时，把含根号的参数统一成 $\frac{m}{\sqrt{m^2+c}}$ 型函数是关键一步。

方法推广：解析几何中”取值范围”问题四步走：设参 → 联立用韦达 → 把目标量化为单参函数 → 剔除不合题意的特殊值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-22 解-双曲线综合与垂直证明
• 2013-陕西卷文-22 解-轨迹方程与椭圆
• 2013-大纲卷文-22 解-双曲线与等比数列