2012-四川卷理-15 填-椭圆与三角形

本题导读

本题考查椭圆的定义与几何性质，以及三角形周长与面积的最值。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左焦点为 $F$，直线 $x=m$ 与椭圆相交于点 $A,B$，当 $△FAB$ 的周长最大时，$△FAB$ 的面积是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由椭圆定义，$|FA|+|FB|$ 为定值，$△FAB$ 周长与 $|AB|$ 有关。

2. 当直线 $x=m$ 过另一焦点时 $△FAB$ 周长最大。

3. 求此时 $A,B$ 坐标与三角形面积。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，$a=2,b=\sqrt{3},c=1$，左焦点 $F(-1,0)$，右焦点 $F_2(1,0)$。

$△FAB$ 周长 $=|FA|+|FB|+|AB|$。由椭圆定义 $|FA|+|F_{2}A|=2a=4$。

当直线 $x=m=1$（过右焦点）时，$A,B$ 关于 $x$ 轴对称，$|AB|$ 最大，周长最大。

$x=1$ 代入椭圆：$\frac{1}{4}+\frac{y^2}{3}=1\Rightarrow y^2=\frac{9}{4}\Rightarrow y=\pm \frac{3}{2}$。

故 $A(1,\frac{3}{2}),B(1,-\frac{3}{2})$，$|AB|=3$，高为 $1-(-1)=2$。

面积 $S=\frac{1}{2}\times 3\times 2=3$。故答案为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与几何性质

核心方法：三角形面积公式

避坑指南：最值的几何意义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆的定义应用

结论推广：可推广到双曲线、抛物线的类似问题

方法推广：利用定义”到两焦点距离和为定值”是关键

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.07三角形五心与奔驰定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-09 填-余弦定理标准式

• 2005-山东卷理-12 单-直线关于点的对称直线方程

• 2005-广东卷-17 解-抛物线的几何性质