2012-大纲卷文-12 单-反射展开计数

本题导读

本题考查反射展开法，以及轨迹与网格线交点计数。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，点 $E$ 在边 $AB$ 上，点 $F$ 在边 $BC$ 上，$AE=BF=\frac{1}{3}$.动点 $P$ 从 $E$ 出发沿直线向 $F$ 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 $P$ 第一次碰到 $E$ 时，$P$ 与正方形的边碰撞的次数为()

A. $8$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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展开镜像后轨迹为直线 $x=\frac{1}{3}+2t$，$y=t$，首次到达 $E$ 的镜像在 $t=2$，穿过网格线共 $6$ 次，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

建系：$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,1)$，$D(0,1)$，则 $E\left(\frac{1}{3},0\right)$，$F\left(1,\frac{1}{3}\right)$，方向 $\overrightarrow{EF}=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)\parallel (2,1)$。

反射展开法：每次反弹等价于把正方形沿该边翻折，$P$ 的折线轨迹展开后成为过 $E$ 的直线 $x=\frac{1}{3}+2t$，$y=t$。

$E$ 的镜像位置：横坐标为 $2k\pm \frac{1}{3}$（$k\in \mathbf{Z}$），纵坐标为偶数（$E$ 在边界上）。

第一次回到 $E$ 的镜像：取 $y=t=2$，此时 $x=\frac{1}{3}+4=\frac{13}{3}=2\times 2+\frac{1}{3}$，恰为 $E$ 的镜像。

碰撞次数即轨迹穿过（或到达）网格线（正方形的边）的次数：竖直线 $x=1,2,3,4$ 共 $4$ 次；水平线 $y=1$（中途）与 $y=2$（到达时落在边界上）共 $2$ 次；合计 $4+2=6$ 次，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反射与对称展开；轨迹与网格线交点计数

核心方法：建系 → 展开镜像正方形 → 折线化直线 → 数网格线

避坑指南：别在原正方形里逐次画反射（易乱易漏）；展开时 $E$ 的镜像横坐标是 $2k\pm \frac{1}{3}$ 而非 $k+\frac{1}{3}$，纵坐标镜像只落在偶数上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方形台球（反射）模型的经典题，与 2013 年湖北卷文第 8 题（取整函数周期）、2015 年陕西卷文第 16 题（归纳规律）同属”对称与周期”模型家族。

结论推广：一般地，单位正方形内从边界点沿方向 $(p,q)$ 出发的台球问题，展开后首次返回同类点的行程由方向分量与 $1$ 的公倍数刻画。

方法推广：台球/反射问题一律展开：折线 → 直线，反弹次数 → 穿过的网格线数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-08 单-取整函数周期
• 2015-陕西卷文-16 填-归纳规律