2013-湖北卷文-08 单-取整函数周期

本题导读

本题考查函数的周期性，以及取整函数。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） $x$ 为实数，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则函数 $f(x)=x-[x]$ 在 $\mathbf{R}$ 上为()

A. 奇函数　　　　B. 偶函数　　　　C. 增函数　　　　D. 周期函数

🔍【思路分析】

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1. $f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-([x]+1)=x-[x]=f(x)$ → 周期为 $1$。
2. $f(0.3)=0.3$，$f(-0.3)=-0.3-(-1)=0.7\ne \pm 0.3$ → 非奇非偶。
3. $f(0.9)=0.9>f(1.1)=0.1$ → 不是增函数。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

周期性：对任意 $x\in \mathbf{R}$， $f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x+1-([x]+1)=x-[x]=f(x),$ 故 $f(x)$ 是周期为 $1$ 的周期函数，D 正确。 排除 A、B：$f(0.3)=0.3$，$f(-0.3)=-0.3-(-1)=0.7$，$f(-0.3)\ne \pm f(0.3)$，既非奇函数也非偶函数。 排除 C：$f(0.9)=0.9$ 而 $f(1.1)=0.1$，$0.9>1.1$ 不成立增函数（$f$ 呈锯齿形反复）。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：取整函数的周期性

核心方法：$f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f(x)$ → 周期为 $1$ 的周期函数

避坑指南：用 $[x+n]=[x]+n$（$n\in \mathbf{Z}$）直接化简；$f(x)=x-[x]$ 的图象是”锯齿形”，非奇非偶也不单调（在每段内递增但整体振荡）——只看”小数部分”的局部递增就选 C 是常见误判。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：取整函数与周期性（新符号定义，湖北卷选择题）。

结论推广：$[x+n]=[x]+n$；周期函数定义验证。

方法推广：算 $f(x+1)$ → 与 $f(x)$ 比对 → 判定周期；再用特值排除奇偶、单调。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-13 填-周期函数求值
• 2014-四川卷文-13 填-周期函数求值
• 2013-山东卷文-16 填-正对数新定义