2012-大纲卷文-17 解-等差内角与正弦定理

本题导读

本题考查三角形内角的等差关系。核心在于正弦定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） $△ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 成等差数列，其对边 $a$、$b$、$c$ 满足 $2b^2=3ac$，求 $A$.（本小题满分 $10$ 分）

🔍【思路分析】

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$B=\frac{\pi }{3}$，化得 $\sin \left(2A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$，解得 $A=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

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$A=\frac{\pi }{6}$ 或 $A=\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$A$、$B$、$C$ 成等差数列，则 $2B=A+C$，又 $A+B+C=\pi$，故 $B=\frac{\pi }{3}$，$A+C=\frac{2\pi }{3}$。

由正弦定理，$2b^2=3ac$ 化为 $2{\sin }^{2}B=3\sin A\sin C$，即 $2\times \frac{3}{4}=3\sin A\sin C$，$\sin A\sin C=\frac{1}{2}$。

$C=\frac{2\pi }{3}-A$，故 $\sin A\sin \left(\frac{2\pi }{3}-A\right)=\frac{1}{2}$。

展开：$\sin A\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{1}{2}\sin A\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2A+\frac{1}{4}(1-\cos 2A)=\frac{1}{2}$。

整理得 $\sqrt{3}\sin 2A-\cos 2A=1$，即 $2\sin \left(2A-\frac{\pi }{6}\right)=1$，$\sin \left(2A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$。

故 $2A-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$，即 $A=\frac{\pi }{6}$ 或 $A=\frac{\pi }{2}$，均满足三角形内角要求。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形内角的等差关系；正弦定理边角互化；三角恒等变换

核心方法：等差条件定 $B=\frac{\pi }{3}$ → 齐次化 → 合并为 $\sin (\omega x+\phi )=k$ 型

避坑指南：得 $\sin \left(2A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 后别只取一个解——$2A-\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right)$，$\frac{\pi }{6}$ 与 $\frac{5\pi }{6}$ 都在范围内，两种情况都要写。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与数列条件结合的综合题，与 2013 年湖南卷文第 5 题、2013 年新课标Ⅰ理第 17 题同族。

结论推广：一般地，“内角成等差”即中间角 $=\frac{\pi }{3}$，是解三角形题的高频隐含条件。

方法推广：边角混合条件先齐次化（正弦定理全化为角的正弦），再恒等变换合并成 $\sin (\omega x+\phi )=k$ 型求解，最后逐解检验内角范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角

• 2013-新课标I卷理-17 解-正弦定理