2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角

本题导读

本题考查正弦定理，以及解三角形。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 在锐角 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$ 所对的边长分别为 $a$，$b$. 若 $2a\sin B=\sqrt{3}b$，则角 $A$ 等于()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正弦定理 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$：$2\sin A\sin B=\sqrt{3}\sin B$。
2. $\sin B\ne 0$，约去得 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. 锐角三角形中 $A\in (0,\frac{\pi }{2})$ → $A=\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

（A）

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理，$a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，代入 $2a\sin B=\sqrt{3}b$： $2\sin A\sin B=\sqrt{3}\sin B.$ 因为 $B$ 为三角形内角，$\sin B\ne 0$，两边约去 $\sin B$ 得 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 故 $A=\frac{\pi }{3}$ 或 $A=\frac{2\pi }{3}$。又 $△ABC$ 为锐角三角形，$A<\frac{\pi }{2}$，所以 $A=\frac{\pi }{3}$。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理求角

核心方法：$2a\sin B=\sqrt{3}b$ → $2\sin A\sin B=\sqrt{3}\sin B$ → $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ → $A=\frac{\pi }{3}$（锐角三角形）

避坑指南：边化角后 $\sin B\ne 0$ 可约去——约分是合法的（$B$ 是内角）；锐角三角形把 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的另一个解 $A=\frac{2\pi }{3}$ 排除掉，漏看”锐角”就会出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理（边角互化求角，湖南卷选择题）。

结论推广：边化角；约去非零因子。

方法推广：正弦定理代换 → 约去 $\sin B$ → 解 $\sin A$ → 用锐角限定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-05 单-正弦定理
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角
• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角