2012-大纲卷文-20 解-轮换发球概率

本题导读

本题考查相互独立事件同时发生的概率。核心在于分段讨论法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 $10$ 平前，一方连续发球 $2$ 次后，对方再连续发球 $2$ 次，依次轮换. 每次发球，胜方得 $1$ 分，负方得 $0$ 分. 设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 $1$ 分的概率为 $0.6$，各次发球的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

(1)求开始第 $4$ 次发球时，甲、乙的比分为 $1$ 比 $2$ 的概率；

(2)求开始第 $5$ 次发球时，甲得分领先的概率.（本小题满分 $12$ 分）

🔍【思路分析】

破题导航

前 $3$ 次发球甲恰得 $1$ 分的概率为 $0.352$；前 $4$ 次（两轮各 $2$ 球）甲至少得 $3$ 分的概率为 $0.3072$。

✅【答案】

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(1)$0.352$

(2)$0.3072$

✍【详细解析】

Abstract

发球顺序：第 $1$、$2$ 次甲发球，第 $3$、$4$ 次乙发球。发球方得分的概率为 $0.6$，故第 $1$、$2$ 次甲得分的概率为 $0.6$，第 $3$、$4$ 次甲得分的概率为 $1-0.6=0.4$。

（1）“开始第 $4$ 次发球时”即前 $3$ 次发球结束。设三次发球甲得分为 $X$，比分 $1:2$ 即 $X=1$。

$P(X=1)=0.6\times 0.4\times 0.6+0.4\times 0.6\times 0.6+0.4\times 0.4\times 0.4=0.144+0.144+0.064=0.352$。

（2）“开始第 $5$ 次发球时”即前 $4$ 次发球结束。设前两次甲得分之和为 $S$，后两次之和为 $T$：$S\sim B(2,0.6)$，$T\sim B(2,0.4)$。

$P(S=0)=0.16$，$P(S=1)=0.48$，$P(S=2)=0.36$；$P(T=0)=0.36$，$P(T=1)=0.48$，$P(T=2)=0.16$。

甲领先即 $S+T⩾3$：

$P=P(S=2)P(T⩾1)+P(S=1)P(T=2)=0.36\times (0.48+0.16)+0.48\times 0.16=0.2304+0.0768=0.3072$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件同时发生的概率；互斥事件概率加法；二项分布

核心方法：按发球权分段确定各次得分概率 → 分类列举 → 独立相乘、互斥相加

避坑指南：第 $3$、$4$ 次由乙发球，此时”甲得分”的概率是 $0.4$ 而非 $0.6$，别全套用 $0.6$；“领先”意味着 $4$ 球中甲至少得 $3$ 分，$2:2$ 不算领先。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轮换发球的概率模型，与 2013 年大纲卷文第 20 题、2014 年大纲卷文第 20 题（独立事件概率）同族，是大纲卷概率解答题的固定形态。

结论推广：一般地，发球方胜率 $p$ 固定且每 $2$ 球轮换时，前 $2k$ 球中某方得分服从两个二项分布之和。

方法推广：概率解答题先写”分段概率表”：把每次发球按发球权分成两类，各自用二项分布，再按互斥类相加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率