2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率

本题导读

本题考查相互独立事件。核心在于路径枚举、概率乘法与加法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判. 设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$，各局比赛的结果都相互独立，第 $1$ 局甲当裁判.

(1)求第 $4$ 局甲当裁判的概率；

(2)求前 $4$ 局中乙恰好当 $1$ 次裁判的概率.

🔍【思路分析】

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1. 第 $4$ 局甲当裁判的路径：第 $2$、$3$ 局裁判须依次为乙丙或丙乙，两条路径各 $\frac{1}{8}$，合计 $\frac{1}{4}$。
2. 乙恰 $1$ 次裁判：第 $2$ 局乙裁判有 $2$ 条路径，第 $2$ 局丙裁判有 $3$ 条路径，共 $5$ 条，概率 $5\times \frac{1}{8}=\frac{5}{8}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{5}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 第 $1$ 局甲当裁判，第 $2$ 局的裁判是第 $1$ 局的负方，为乙或丙，概率各 $\frac{1}{2}$。 若第 $2$ 局乙当裁判（此时甲、丙比赛），要使第 $4$ 局甲当裁判，须第 $3$ 局丙当裁判（第 $2$ 局丙负，概率 $\frac{1}{2}$）、第 $4$ 局甲当裁判（第 $3$ 局甲负，概率 $\frac{1}{2}$），该路径概率 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}.$ 若第 $2$ 局丙当裁判，同理须依次出现第 $3$ 局乙、第 $4$ 局甲，概率也是 $\frac{1}{8}$。 两条路径互斥，故 $P_1=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.$ (2) 第 $1$ 局甲当裁判，乙在前 $4$ 局中恰当 $1$ 次裁判分两类：

• 第 $2$ 局乙当裁判：第 $3$、$4$ 局裁判须依次为（甲、丙）或（丙、甲），共 $2$ 条路径；
• 若第 $2$ 局丙当裁判（此时甲、乙比赛）：第 $3$ 局裁判为乙时，第 $4$ 局裁判为甲或丙均可（均非乙），有（乙、甲）、（乙、丙）$2$ 条路径；第 $3$ 局裁判为甲时，第 $4$ 局裁判须为乙，有（甲、乙）$1$ 条路径，共 $3$ 条路径。 两类合计 $5$ 条路径，每条路径由连续 $3$ 局比赛结果确定，概率均为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$。 故 $P_2=5\times \frac{1}{8}=\frac{5}{8}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件的概率（裁判转移模型）

核心方法：按”下一局裁判 = 上一局负方”列路径，每条路径概率 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

避坑指南：路径枚举要按裁判人选逐局追踪，别把比赛双方与裁判混淆；(2) 中”乙恰 $1$ 次裁判”要分”第 $2$ 局乙裁判”与”第 $2$ 局丙裁判”两类完整枚举，漏类即错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相互独立事件的概率（全国卷常考）。

结论推广：相互独立事件概率乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B)$；互斥事件概率加法。

方法推广：状态转移概率两步：画出”裁判人选”的逐局转移路径 → 每条完整路径概率相乘、互斥路径相加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2013年大纲版理-20