本题导读
本题考查平面向量的数量积运算，以及直角三角形的射影定理。
📌【题干】
Question
（2012年大纲卷(理)） 中， 边的高为 ，若 ，，，，，则 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 识别图形结构：由 可知 ，即 是以 为直角顶点的直角三角形。
- 计算线段长度：已知两条直角边 ，，利用勾股定理求出斜边 。
- 求出投影比例：由于 ，根据直角三角形射影定理满足 ，以此求出 的长度，进而确定比例关系 。
- 进行向量转换：由于 在线段 上，向量 与 共线同向，可得 。再利用向量减法三角形法则将 用 和 替换展开。
✅【答案】
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D
✍【详细解析】
Abstract
解法一：几何投影法（最优解） 因为 ，即 ， 所以 ， 是直角三角形。 已知 ，。
在 Rt 中，根据勾股定理可得斜边 长为：
因为 是 边上的高，由直角三角形的射影定理可得： 代入数据得：
因此，线段 与整个斜边 的长度比值为：
根据向量的数乘性质，由于 点在斜边上且与 、 共线，则向量 可表示为：
根据平面向量的减法运算规则：
代入展开可得：
故选 D
解法二：平面直角坐标系法 以直角顶点 为坐标原点，射线 方向为 轴正方向，射线 方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系。 根据 ，，可得各点坐标：
则向量基底表示为：，。 由 两点坐标可得直线 的方程：
因为 且过原点 ，所以直线 的斜率与直线 的斜率 互为负倒数，即 。 由此得直线 的方程为：
联立直线 与 的方程求交点 的坐标： 即 垂足坐标为 。
进而计算目标向量 的坐标：
对照选项，利用坐标线性组合进行化简：
故选 D
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：垂直向量的代数判定、直角三角形射影定理、平面向量基本定理的坐标与几何应用。
- 核心方法：边角比例转化法。在平面向量中共线向量的求解问题，其核心本质是确定线段间的比例系数，利用平面几何定理（如射影定理、梅涅劳斯定理等）能极其快速地得出几何系数。
- 避坑指南：
- 向量减法方向记反：在替换 时，部分考生易错记成“前减后”而写成 。切记减法口诀为“指向终点的向量减去指向起点的向量”，即 。
- 射影定理公式混淆：注意斜边高线对应的映射关系是直角边的平方等于其在斜边上的投影与斜边的乘积，即 ，易错记为 而增加多步无用运算。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中关于向量基底分解的综合应用题。其背景基于直角三角形的经典欧几里得射影结构，重点考查将纯几何比例与向量定向运算进行融合。
- 结论推广:
- 一般化推广模型：在任意直角三角形 中， ， 为斜边 上的高。设 ， 。
- 设直角边长分别为 ， 。通过射影定理 可推出比例系数为 。
- 从而可推导得出关于目标向量 的通用一般化基底表示公式：
- 本题中 ，直接代入此推广通式： 。利用该公式，遇到任何同类直角三角形投影向量问题均可一步得出最终解析式。
🔗【关联脉络】
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