2012-大纲卷理-08 单-椭圆

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的定义。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)） 已知 $F_1,F_2$ 为双曲线 $C:x^2-y^2=2$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$|P{F}_1|=2|P{F}_2|$，则 $\cos \angle F_{1}P{F}_2=$()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{3}{5}$　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程标准化：将已知双曲线方程 $x^2-y^2=2$ 两边同除以 2 转化为标准方程，提炼出几何基本量 $a,b,c$。
2. 利用定义求焦半径：

• 由 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$ 可知 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$，根据双曲线对称性，点 $P$ 必然在右支上。
• 根据双曲线第一定义满足 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a⟹|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$。
• 联立比例关系与定义差值，解方程组求出两个焦半径 $|P{F}_1|$ 与 $|P{F}_2|$ 的具体数值。

3. 结合焦距求夹角余弦：在焦点三角形 $△F_{1}P{F}_2$ 中，已知三边长（两焦半径与底边焦距 $|F_1{F}_2|=2c$），代入余弦定理对角 $P$ 求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

将双曲线方程 $x^2-y^2=2$ 化为标准方程： $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$

由标准方程可得几何量平方项： $a^2=2,b^2=2$ 由此解得其实半轴长为 $a=\sqrt{2}$。 根据双曲线中基本量平方关系 $c^2=a^2+b^2$，可得： $c^2=2+2=4⟹c=2$ 所以，其焦距为： $|F_1{F}_2|=2c=4$

设 $|P{F}_2|=m$，因为已知 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$，则 $|P{F}_1|=2m$。 由 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$ 可知点 $P$ 位于双曲线的右支上。 根据双曲线的第一定义： $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$ 代入数据得： $2m-m=2\sqrt{2}⟹m=2\sqrt{2}$

由此求得焦点三角形的两个侧边长（焦半径）分别为： $|P{F}_2|=m=2\sqrt{2}$ $|P{F}_1|=2m=4\sqrt{2}$

在焦点三角形 $△F_{1}P{F}_2$ 中，已知三边长分别为 $|P{F}_1|=4\sqrt{2}$， $|P{F}_2|=2\sqrt{2}$， $|F_1{F}_2|=4$。 根据余弦定理，夹角 $\angle F_{1}P{F}_2$ 的余弦值为： $\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2-|F_1{F}_2{|}^2}{2|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|}$ 代入边长数据展开计算： $\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{(4\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2-4^2}{2\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}=\frac{32+8-16}{2\times 16}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线标准方程转化、双曲线第一定义的代数映射、焦点三角形中的余弦定理应用。
2. 核心方法：焦点三角形方程组法。凡是涉及双曲线或椭圆上一点与两焦点构成的三角形（焦点三角形）度量问题，利用定义 $r_1\pm r_2=2a$ 结合已知比例进行整体边长突破是标准解法。
3. 避坑指南：

• 忽略基本量平方关系：双曲线满足 $c^2=a^2+b^2$，部分考生易与椭圆的 $c^2=a^2-b^2$ 混淆而错算成 $c^2=2-2=0$。
• 余弦定理公式项颠倒：在代入余弦定理求 $\cos P$ 时，注意减去的是对边（即焦距 $|F_1{F}_2|$）的平方，易错把减数写成邻边。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线与方程》中双曲线几何性质的经典章末习题。这类将圆锥曲线基本性质与解析三角定理（余弦定理）结合的“焦点三角形”模型是高考必考的中档题。
2. 结论推广:

• 双曲线焦点三角形余弦通用公式：设双曲线的实半轴为 $a$，半焦距为 $c$。若双曲线右支上一点 $P$ 满足焦半径比例关系 $|P{F}_1|=\lambda |P{F}_2|(\lambda >1)$。
• 根据定义可求出两焦半径表达：$|P{F}_2|=\frac{2a}{\lambda -1},|P{F}_1|=\frac{2a\lambda }{\lambda -1}$。
• 将其代入余弦定理，经代数恒等变形化简后，可推导得出关于夹角余弦值的通用推广公式： $\cos \angle F_{1}P{F}_2=1-\frac{2(\lambda -1{)}^2\cdot a^2}{\lambda \cdot c^2}$
• 本题中 $a=\sqrt{2},c=2,\lambda =2$，代入推广通式直接速算：$\cos \angle F_{1}P{F}_2=1-\frac{2(2-1{)}^2\times (\sqrt{2}{)}^2}{2\times 2^2}=1-\frac{2\times 1\times 2}{8}=1-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。通过熟记该通式，能够极其快速地在秒级时间内复核或直接解出圆锥曲线焦点夹角的余弦值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表 类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-08 单-双曲线焦点三角形

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程

• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程