2012-大纲卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于建系法、坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为菱形， $PA\perp \text{平面 }ABCD$， $AC=2\sqrt{2}$， $PA=2$， $E$ 是 $PC$ 上的点，且 $PE=2EC$.

(1)证明： $PC\perp \text{平面 }BED$；

(2)设二面角 $A-PB-C$ 为 $90^{\circ }$，求 $PD$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第（Ⅰ）问思路：

• 几何法简析：由于底面 $ABCD$ 是菱形，对角线互相垂直，得 $BD\perp AC$。再由 $PA\perp \text{平面 }ABCD$ 可导出 $BD\perp PA$，进而根据线面垂直判定定理证出 $BD\perp \text{平面 }PAC$，从而有 $BD\perp PC$。接下来只需在平面 $PAC$ 内通过几何边长比例，证明在 $△PAC$ 中满足中位线或垂向投影关系得到 $PC\perp RE$ 即可。
• 向量坐标法：以菱形对角线交点或顶点 $A$ 为中心建立空间直角坐标系。将相关点几何坐标化（引入参数表示菱形另一条对角线半长），直接计算向量数量积，若满足 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BE}=0$ 且 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{DE}=0$，则根据线面垂直判定定理完成证明。

2. 第（Ⅱ）问思路：

• 建立完备的空间直角坐标系 $A-xyz$，设 $D(\sqrt{2},b,0)$，以此表示出各顶点的精确代数坐标。
• 分别求出平面 $PAB$ 的法向量 $\mathbf{m}$ 与平面 $PBC$ 的法向量 $\mathbf{n}$。
• 已知二面角 $A-PB-C$ 为 $90^{\circ }$，说明两平面的法向量相互垂直，利用 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=0$ 建立代数方程，解出未知数参数 $b$ 的具体数值。
• 参数确定后，求出斜线向量 $\overrightarrow{DP}$ 的坐标。计算该方向向量与平面 $PBC$ 法向量 $\mathbf{n}$ 的夹角余弦值，利用公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{DP},\mathbf{n}⟩|$ 算出线面角的正弦值，从而确定角度大小。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 因为底面 $ABCD$ 为菱形，设对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。 根据菱形的性质，对角线互相垂直，可得： $BD\perp AC$

因为 $PA\perp \text{平面 }ABCD$，且 $BD\subset \text{平面 }ABCD$， 根据线面垂直的性质定理，可得： $PA\perp BD⟹BD\perp PA$

又因为 $AC\cap PA=A$，且 $AC,PA\subset \text{平面 }PAC$， 根据线面垂直的判定定理，可得： $BD\perp \text{平面 }PAC$

因为 $PC\subset \text{平面 }PAC$，所以满足： $PC\perp BD\text{(1)}$

下面建立空间直角坐标系进行坐标定量判定： 以点 $A$ 为坐标原点，射线 $AC$ 方向为 $x$ 轴正方向，过点 $A$ 且平行于 $BD$ 的射线方向为 $y$ 轴正方向，射线 $AP$ 方向为 $z$ 轴正方向，建立平面直角坐标系 $A-xyz$。

因为 $AC=2\sqrt{2}$，且 $O$ 为 $AC$ 中点，则 $AO=\sqrt{2}$。 设菱形另一对角线半长 $OB=OD=b(b>0)$。 由各点的相对位置可写出其空间坐标分别为： $A(0,0,0),C(2\sqrt{2},0,0),P(0,0,2)$ $D(\sqrt{2},b,0),B(\sqrt{2},-b,0)$

因为 $E$ 是 $PC$ 上的点，且满足 $PE=2EC$，即 $\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EC}$，说明点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{PC}$ 的比为 $2$。 根据空间定比分点坐标公式（或向量线性表示 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$）： $x_E=\frac{0+2\times 2\sqrt{2}}{1+2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$ $y_E=0$ $z_E=\frac{2+2\times 0}{1+2}=\frac{2}{3}$ 即 点 $E$ 的坐标为 $E\left(\frac{4\sqrt{2}}{3},0,\frac{2}{3}\right)$。

由此可求得各相关向量的坐标表示： $\overrightarrow{PC}=(2\sqrt{2}-0,0-0,0-2)=(2\sqrt{2},0,-2)$ $\overrightarrow{BE}=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2},0-(-b),\frac{2}{3}-0\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{3},b,\frac{2}{3}\right)$ $\overrightarrow{DE}=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2},0-b,\frac{2}{3}-0\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{3},-b,\frac{2}{3}\right)$

计算向量 $\overrightarrow{PC}$ 与 $\overrightarrow{BE}$ 的数量积： $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BE}=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{3}+0\times b+(-2)\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}+0-\frac{4}{3}=0⟹PC\perp BE$

同理计算向量 $\overrightarrow{PC}$ 与 $\overrightarrow{DE}$ 的数量积： $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{3}+0\times (-b)+(-2)\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}+0-\frac{4}{3}=0⟹PC\perp DE$

因为 $BE\cap DE=E$，且 $BE,DE\subset \text{平面 }BED$， 根据线面垂直的判定定理可知： $PC\perp \text{平面 }BED$

（Ⅱ）解： 根据（Ⅰ）中所建坐标系，计算平面 $PAB$ 的法向量： 易知 $\overrightarrow{AP}=(0,0,2)$， $\overrightarrow{AB}=(\sqrt{2},-b,0)$。 设平面 $PAB$ 的一个法向量为 $\mathbf{m}=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}\mathbf{m}\cdot \overrightarrow{AP}=0\\ \mathbf{m}\cdot \overrightarrow{AB}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2z_1=0⟹z_1=0\\ \sqrt{2}{x}_1-b{y}_1=0\end{array}$ 取 $y_1=\sqrt{2}$，解得 $x_1=b$。 所以平面 $PAB$ 的一个法向量可取为： $\mathbf{m}=(b,\sqrt{2},0)$

接下来计算平面 $PBC$ 的法向量 $\mathbf{n}=(x_2,y_2,z_2)$： 由坐标可得 $\overrightarrow{PC}=(2\sqrt{2},0,-2)$， $\overrightarrow{BC}=(2\sqrt{2}-\sqrt{2},0-(-b),0-0)=(\sqrt{2},b,0)$。 $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{PC}=0\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}{x}_2-2z_2=0⟹z_2=\sqrt{2}{x}_2\\ \sqrt{2}{x}_2+b{y}_2=0⟹y_2=-\frac{\sqrt{2}{x}_2}{b}\end{array}$ 取 $x_2=1$，则 $y_2=-\frac{\sqrt{2}}{b}$， $z_2=\sqrt{2}$。 所以平面 $PBC$ 的一个法向量可取为： $\mathbf{n}=\left(1,-\frac{\sqrt{2}}{b},\sqrt{2}\right)$

因为已知二面角 $A-PB-C$ 为 $90^{\circ }$，即平面 $PAB\perp \text{平面 }PBC$， 根据面面垂直的性质，两个面的法向量相互垂直： $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=0$ 代入向量坐标展开： $b\times 1+\sqrt{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{b}\right)+0\times \sqrt{2}=0$ $b-\frac{2}{b}=0⟹b^2=2$ 因为 $b>0$，解得未知参数为： $b=\sqrt{2}$

将 $b=\sqrt{2}$ 代回平面 $PBC$ 的法向量 $\mathbf{n}$ 中： $\mathbf{n}=\left(1,-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}},\sqrt{2}\right)=(1,-1,\sqrt{2})$

计算斜线向量 $\overrightarrow{PD}$ 的坐标： $\overrightarrow{PD}=(\sqrt{2}-0,\sqrt{2}-0,0-2)=(\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$ 计算其模长： $|\overrightarrow{PD}|=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{2+2+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ 计算法向量 $\mathbf{n}$ 的模长： $|\mathbf{n}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2$

设直线 $PD$ 与平面 $PBC$ 所成的角为 $\theta$。由线面角夹角公式可得： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{PD},\mathbf{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{PD}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{PD}|\cdot |\mathbf{n}|}$ 计算分子数量积： $\overrightarrow{PD}\cdot \mathbf{n}=\sqrt{2}\times 1+\sqrt{2}\times (-1)+(-2)\times \sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$ 代入求出正弦值： $\sin \theta =\frac{|-2\sqrt{2}|}{2\sqrt{2}\times 2}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

因为线面角 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以由 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ 唯一确定角度大小为： $\theta =30^{\circ }\left(\text{或 }\frac{\pi }{6}\right)$

即 $PD$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小为 $30^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的坐标推导证明、通过待定系数求平面法向量、利用面面垂直确定代数参数、线面角的向量求导公式。
2. 核心方法：法向量平移建系法（解析化法）。本题中由于包含定比分点 $E$ 以及抽象二面角 $90^{\circ }$，使用空间几何作图找垂足、垂面不仅极其隐蔽，而且极易画错。通过建立包含未知半弦长 $b$ 的坐标系，将全部几何元素翻译为坐标，代入方程组求解，属于典型的“以算代证”现代数形结合高效通法。
3. 避坑指南：

• 定比分点坐标算错：在第（Ⅰ）问中计算点 $E$ 坐标时，注意比例是 $PE=2EC$。由于是从 $P$ 运动到 $C$，分点比 $\lambda =2$。应用分点公式时分母为 $1+\lambda =3$，各项不要因看错比值算成中点。
• 线面角公式名数写错：利用向量夹角公式求得的是斜线与法向量的夹角余弦值 $\cos ⟨\overrightarrow{PD},\mathbf{n}⟩$。根据几何关联，它对应的是目标线面角的正弦值 $\sin \theta$，很多考生习惯性直接写成 $\cos \theta =\frac{1}{2}⟹\theta =60^{\circ }$ 而功亏一篑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第一章《空间向量与立体几何》中利用空间向量研究立体几何中夹角与距离的章末综合压轴大题。属于高考对立体几何解析代数化考查的标准高分模版题。
2. 结论推广:

• 四棱锥法向量代数联立通用规律：在本题这类典型的底面为对称图形（如菱形、长方形），且有一条侧棱（ $PA$ ）垂直于底面的四棱锥系统中。
• 设 $PA=h$，底面对角线交点为原点或以 $A$ 为原点建立的标准正交系中。若给定侧面与侧面的二面角为直角（ $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=0$ ），其未知轴向参数 $b$ 的代数方程恒表现为双曲或抛物式的互倒对应关系： $b-\frac{k}{b}=0⟹b=\sqrt{k}$。
• 掌握此类空间坐标系的参数联立规律，即使在考场上遇到不同的底面数据，也能提前预判出法向量乘积的整式方程结构，从而极大提高对大题第二问参数解析的计算底气与效率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系 类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行

• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角