2012-天津卷理-04 单-零点个数

本题导读

本题考查函数零点个数的判定，以及函数单调性的分析。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 函数 $f(x)=2^x+x^3-2$ 在区间 $(0,1)$ 内的零点个数是()

A. $0$　　　　B. $1$　　　　C. $2$　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 单调性分析：对 $f(x)$ 求导，$2^x\ln 2>0$ 且 $3x^2\ge 0$，得 $f$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。
2. 端点定值：计算 $f(0)$ 与 $f(1)$ 的符号，判断异号。
3. 定理结论：由零点存在定理结合单调性，零点至多且至少各一个，故唯一。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导判单调 $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+3x^2$。当 $x\in (0,1)$ 时，$2^x\ln 2>0$，$3x^2>0$，故 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 在 $(0,1)$ 上严格单调递增。

第二步：计算端点值 $f(0)=2^0+0-2=-1<0,f(1)=2^1+1-2=1>0$

第三步：用零点存在定理 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0)f(1)<0$，故在 $(0,1)$ 内至少有一个零点；又 $f$ 严格单调，零点至多一个。所以零点个数为 $1$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数零点的概念，单调性与零点存在定理的配合。

核心方法：单调性 + 端点异号——先证单调保证”至多一个”，再用端点异号保证”至少一个”。

避坑指南：$f(0)$ 与 $f(1)$ 是区间端点处的函数值，$(0,1)$ 是开区间，用定理时应说明 $f$ 在闭区间上连续。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自零点存在定理的基本应用，与教材中”二分法”的引例同源。

结论推广：单调函数在有定义区间内至多一个零点，配合端点异号即”恰有一个”。

方法推广：判断零点个数时，“单调性 + 端点符号”与”分离参数看图象交点”是两条常用路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-09 单-函数零点

• 2022-天津卷-15 填-分段函数零点

• 2022-新高考I卷-10 多-导数极值零点