2012-天津卷理-07 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量数量积的坐标与基底处理。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 已知 $△ABC$ 为等边三角形，$AB=2$，设点 $P,Q$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=(1-\lambda )\overrightarrow{AC}$，$\lambda \in \mathbb{R}$，若 $\overrightarrow{BQ}\cdot \overrightarrow{CP}=-\frac{3}{2}$，则 $\lambda =$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　B. $\frac{1\pm \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{1\pm \sqrt{10}}{2}$　　　　D. $\frac{-3\pm 2\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 选基底：以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 为基底，其模与夹角已知（等边三角形）。
2. 表示向量：把 $\overrightarrow{BQ}$、$\overrightarrow{CP}$ 用基底表示出来。
3. 展开数量积：代入 $\overrightarrow{BQ}\cdot \overrightarrow{CP}=-\frac{3}{2}$ 得关于 $\lambda$ 的方程，解之。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：取基底并算基本量 记 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$。$△ABC$ 为等边三角形且 $AB=2$，故 $|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=2,\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=2\times 2\times \cos 60^{\circ }=2$

第二步：表示两个向量 $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}=(1-\lambda )\mathbf{c}-\mathbf{b}$ $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}=\lambda \mathbf{b}-\mathbf{c}$

第三步：展开数量积 $\overrightarrow{BQ}\cdot \overrightarrow{CP}=\lambda (1-\lambda )\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}-(1-\lambda )|\mathbf{c}{|}^2-\lambda |\mathbf{b}{|}^2+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$ $=2\lambda (1-\lambda )-4(1-\lambda )-4\lambda +2=-2{\lambda }^2+2\lambda -2$

第四步：解方程 由 $-2{\lambda }^2+2\lambda -2=-\frac{3}{2}$ 得 $4{\lambda }^2-4\lambda +1=0$，即 $(2\lambda -1{)}^2=0$，解得 $\lambda =\frac{1}{2}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的线性运算与数量积，等边三角形中的向量关系。

核心方法：基底法——选取模与夹角都已知的两个向量作基底，把所求向量统一表示后再展开。

避坑指南：$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}$（终点减起点），写反会得到错误的二次方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由教材平面向量数量积习题改编，把几何条件包装成参数 $\lambda$ 的方程。

结论推广：若把 $\lambda$ 换成任意实数，$\overrightarrow{BQ}\cdot \overrightarrow{CP}=-2{\lambda }^2+2\lambda -2$ 恒为负，其最大值为 $-\frac{3}{2}$（在 $\lambda =\frac{1}{2}$ 处取到）。

方法推广：等边三角形中常用 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 作基底；也可用坐标法（$A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(1,\sqrt{3})$）得到同样结果。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

• 09.02 平面向量的线性运算 类题演练 (Links)

• 2026-天津卷-14 填-数量积

• 2025-天津卷-14 填-线性表示与数量积

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积