2025-天津卷-14 填-线性表示与数量积

本题导读

本题考查平面向量的线性表示与数量积运算.第一空要求熟练运用向量加减法的三角形法则进行基底转化；第二空则需结合垂直条件，通过整体代换或几何建系求解数量积，是天津卷向量板块的中档综合题.

📌【题干】

Question

（2025年天津卷）$△ABC$ 中，$D$ 为 $AB$ 边中点，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，则 $\overrightarrow{AE}=$ $\underline{}$ ;（用 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 表示）；若 $|\overrightarrow{AE}|=5$，$AE\perp CB$，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. 第一空：基底表示

• 目标路径：$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}$.

• 利用 $D$ 是中点得到 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{a}$，进而表示出 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$.

• 代入题目比例关系整理得出结果.

2. 第二空：求数量积

• 条件转化：$AE\perp CB\Rightarrow \overrightarrow{AE}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0$，即 $\overrightarrow{AE}\cdot \vec{a}=\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b}$.
• 目标转化：$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}\cdot (\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b})$.
• 核心技巧：将第一空的表达式 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$ 与 $\overrightarrow{AE}$ 自身做数量积，利用垂直带来的等量关系求解.

✅【答案】

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$\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$;$-15$

✍【详细解析】

Abstract

第一空：求 $\overrightarrow{AE}$ 的基底表示 因为 $D$ 为 $AB$ 中点，所以 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{a}$. 则 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$. 由题意 $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b})=\frac{1}{6}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}$. 所以： $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\vec{b}+(\frac{1}{6}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b})=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$

第二空：求 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}$ 已知 $AE\perp CB$，则 $\overrightarrow{AE}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=0$， 即$\overrightarrow{AE}\cdot \vec{a}-\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b}=0\Rightarrow \overrightarrow{AE}\cdot \vec{a}=\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b}$ 由第一问结论 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$，两边同时与 $\overrightarrow{AE}$ 做数量积：

$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AE}=\frac{1}{6}(\vec{a}\cdot \overrightarrow{AE})+\frac{2}{3}(\vec{b}\cdot \overrightarrow{AE})$ 代入 $|\overrightarrow{AE}|=5$ 及 $\overrightarrow{AE}\cdot \vec{a}=\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b}$： $25=(\frac{1}{6}+\frac{2}{3})(\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b})=\frac{5}{6}(\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b})$ 解得 $\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b}=30$（同理 $\overrightarrow{AE}\cdot \vec{a}=30$）. 现在计算目标值： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}\cdot \left(\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}\right)=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}\cdot \vec{a})-(\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b})$ 将结果代入： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(30)-30=15-30=-15$ 故填：$\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$;$-15$

其他精彩解法

坐标法

设$AE$与$BC$交于$O$，以$OC$,$OA$所在直线为$x$,$y$轴建立直角坐标系， 设$E(0,h),B(n,0),C(m,0)$， 则$A(0,h+5)，D(\frac{n}{2},\frac{h+5}{2})$，

∴$\overrightarrow{CD}=(\frac{n}{2}-m,\frac{h+5}{2})$，$\overrightarrow{CE}=(-m,h)$， ∵$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CE},$∴$\frac{n}{2}-m=-3m,\frac{h+5}{2}=3h$，即n=$-4m$，h=1， ∴$\overrightarrow{CD}=(-3m,3),$又$\overrightarrow{AE}=(0,-5)$， ∴$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AE}=-15$.

利用向量间的转化和已知的点乘为零 因为$AE\perp CB$，所以$\cdot =0$ 

故$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{C\text{B}}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BA}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}\cdot (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}\cdot (\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}\cdot (\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA})$，

故$\frac{5}{6}\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AE}}^2$，所以$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=$-15。故答案为：$\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$；$-15$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. **考点归纳

• 向量投影：${\text{proj}}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$.

• 中线向量公式：$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$.

2. 方法总结：

• 基底分解的灵活性：求 $\overrightarrow{AE}$ 时，既可以走 $A\to C\to E$ 路径，也可以走 $A\to D\to E$ 路径（$\frac{1}{2}\vec{a}+\overrightarrow{DE}$），结果必然一致.
• 垂直条件的价值：在向量填空题中，垂直（点积为 0）通常意味着可以进行“整体替换”.
• 例如本题中将 $\overrightarrow{AE}\cdot \vec{a}$ 和 $\overrightarrow{AE}\cdot \vec{b}$ 视为同一个未知量，极大简化了运算.

3. 避坑指南：求数量积时，初学者易尝试去求边长和夹角。但在本题条件不足以确定具体三角形形状的情况下，必须依靠向量的代数运算律求解.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若点 $E$ 将 $CD$ 分成 $m:n$，则 $\overrightarrow{AE}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AC}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AD}$（定比分点公式）.

2. 方法的推广:

• 投影法：$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}$ 可以看作 $\overrightarrow{CD}$ 在 $\overrightarrow{AE}$ 方向上的投影长度乘以 $|\overrightarrow{AE}|$。由于 $AE\perp BC$，通过几何投影关系也能快速判断正负号和大小.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算