2012-天津卷理-14 填-函数图象交点

本题导读

本题考查函数图象的交点个数，以及数形结合下的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 已知函数 $y=\frac{|x^2-1|}{x-1}$ 的图象与函数 $y=kx-2$ 的图象恰有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 化简函数：按 $x$ 与 $\pm 1$ 的关系去绝对值，把 $y=\frac{|x^2-1|}{x-1}$ 写成分段形式。
2. 抓住定点：直线 $y=kx-2$ 恒过定点 $(0,-2)$，随 $k$ 变化绕该点旋转。
3. 分类计数：就 $k$ 的取值逐段统计交点个数，注意 $x=1$ 处的空心点。

✅【答案】

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$(0,1)\cup (1,4)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简已知函数 $y=\frac{|x^2-1|}{x-1}=\frac{|x-1|}{x-1}\cdot |x+1|(x\ne 1)$ 当 $x>1$ 时 $\frac{|x-1|}{x-1}=1$；当 $x<1$ 时 $\frac{|x-1|}{x-1}=-1$，故 $y=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<-1,\\ -(x+1),& -1\le x<1,\\ x+1,& x>1.\end{array}$ 图象是一条射线（$x\le -1$，$y=x+1$）、一条线段（$-1\le x<1$，$y=-(x+1)$，端点 $(1,-2)$ 取不到）与一条射线（$x>1$，$y=x+1$，端点 $(1,2)$ 取不到）。

第二步：抓住定点分析直线 直线 $y=kx-2$ 恒过定点 $(0,-2)$。 与 $y=x+1$ 部分：令 $kx-2=x+1$ 得 $x=\frac{3}{k-1}$（$k\ne 1$），它落在 $x\le -1$ 上当且仅当 $-2\le k<1$，落在 $x>1$ 上当且仅当 $1<k<4$。 与 $y=-(x+1)$ 部分：令 $kx-2=-(x+1)$ 得 $x=\frac{1}{k+1}$（$k\ne -1$），它落在 $[-1,1)$ 上当且仅当 $k>0$ 或 $k\le -2$。

第三步：统计交点个数 当 $k\le -2$ 时只有一个交点（$k=-2$ 时两段交点重合于 $(-1,0)$）； 当 $-2<k\le 0$ 时只有左侧射线上的一个交点； 当 $0<k<1$ 时有左侧射线与线段上共两个交点； 当 $k=1$ 时直线与两条射线平行，只有一个交点； 当 $1<k<4$ 时有线段与右侧射线上共两个交点； 当 $k\ge 4$ 时只有一个交点（$k=4$ 时落在空心点 $(1,2)$ 处）。

故应填 $(0,1)\cup (1,4)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含绝对值的分式函数化为分段函数，图象交点个数的讨论。

核心方法：数形结合法——抓住直线过定点 $(0,-2)$，按斜率分段统计交点个数。

避坑指南：$x=1$ 处函数无定义，$(1,-2)$ 与 $(1,2)$ 都是空心点；$k=1$ 与 $k=4$ 这两条边界直线恰好经过空心点，务必排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由含绝对值的函数图象与直线过定点问题改编，考查分段与临界状态的讨论。

结论推广：$y=\frac{|x^2-1|}{x-1}$ 的图象由两条射线与一条线段组成，在 $x=1$ 处有两个空心点。

方法推广：“过定点的直线与给定曲线交点个数”问题，一律先画出曲线，再让直线绕定点旋转，标出临界位置（过空心点、与某段平行）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质 类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-05 填-函数图象的交点

• 2013-湖南卷理-05 单-函数图象的交点

• 2012-山东卷文-12 单-三次方程重根与公共点