2014-江苏卷-05 填-函数图象的交点

本题导读

本题考查三角函数图象交点坐标的求法。通过将交点横坐标代入两函数方程，利用函数值相等建立关于参数 $\varphi$ 的方程并求解。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 已知函数 $y=\cos x$ 与 $y=\sin (2x+\varphi )$ ($0\le \varphi <\pi$)，它们的图象有一个横坐标为 $\frac{\pi }{3}$ 的交点，则 $\varphi$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解交点含义：两图象有交点，意味着当 $x=\frac{\pi }{3}$ 时，两函数的 $y$ 值相等。
2. 建立等式：将 $x=\frac{\pi }{3}$ 代入两个解析式，令 $\cos \frac{\pi }{3}=\sin (2\times \frac{\pi }{3}+\varphi )$。
3. 解三角方程：利用特殊角三角函数值及 $\varphi$ 的取值范围确定位移参数。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由于两函数图象在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处相交，则： $\sin \left(2\cdot \frac{\pi }{3}+\varphi \right)=\cos \frac{\pi }{3}$ 计算右侧特殊角数值： $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ 故有： $\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\varphi \right)=\frac{1}{2}$ 因为 $0\le \varphi <\pi$， 所以 $\frac{2\pi }{3}\le \frac{2\pi }{3}+\varphi <\frac{5\pi }{3}$。 在该取值范围内，满足正弦值为 $\frac{1}{2}$ 的角仅有 $\frac{5\pi }{6}$。 由此得： $\frac{2\pi }{3}+\varphi =\frac{5\pi }{6}$ 解得： $\varphi =\frac{5\pi }{6}-\frac{4\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$

故答案为 $\frac{\pi }{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数交点的代数意义及简单三角方程求解。

2. 核心方法：代入法。

3. 避坑指南：解三角方程时必须严格结合 $\varphi$ 的取值范围，否则容易选错解（例如 $\frac{\pi }{6}$ 虽然正弦值也是 $1/2$，但不满足本题中的范围要求）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦函数 $y=\sin x$ 的图象变换（伸缩与平移）。

2. 结论推广: 两图象交点的横坐标满足函数值相等。

3. 方法推广: 代入法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-05 单-函数图象的交点
• 2013-湖南卷文-06 单-函数图象交点
• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象