2012-天津卷理-18 解-等差数列与等比数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的基本量运算及数列求和。核心在于基本量法、错位相减法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，$\{b_n\}$ 是等比数列，且 $a_1=b_1=2$，$a_4+b_4=27$，$S_4-b_4=10$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 记 $T_n=a_n{b}_1+a_{n-1}{b}_2+\cdots +a_1{b}_n$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，证明 $T_n+12=-2a_n+10b_n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设基本量：设公差 $d$、公比 $q$，把 $a_4$、$b_4$、$S_4$ 都表示出来。
2. 解方程组：由两个条件列方程组，先解出 $q^3$，再得 $d$，写出两个通项。
3. 错位相减：$T_n$ 是”等差 $\times$ 等比”型求和，两边乘公比后相减化简，再与右端比对。

✅【答案】

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(1) $a_n=3n-1$，$b_n=2^n$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设基本量列方程 设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，$\{b_n\}$ 的公比为 $q$。由 $a_1=b_1=2$ 得 $a_4=2+3d,b_4=2q^3,S_4=4\times 2+\frac{4\times 3}{2}d=8+6d$ 由 $a_4+b_4=27$ 与 $S_4-b_4=10$ 得 $\{\begin{array}{l}3d+2q^3=25,\\ 6d-2q^3=2,\end{array}\text{即}\{\begin{array}{l}3d+2q^3=25,\\ 3d-q^3=1.\end{array}$

第二步：求解基本量 由第二式得 $3d=q^3+1$，代入第一式得 $3q^3=24$，故 $q^3=8$，$q=2$；进而 $3d=9$，$d=3$。 $a_n=2+3(n-1)=3n-1,b_n=2\times 2^{n-1}=2^n$

第三步：错位相减求 $T_n$ $T_n=(3n-1)\cdot 2+(3n-4)\cdot 4+\cdots +2\cdot 2^n$ $2T_n=(3n-1)\cdot 4+(3n-4)\cdot 8+\cdots +2\cdot 2^{n+1}$ 两式相减（相邻系数之差恒为 $-3$）： $-T_n=2(3n-1)-3\left(4+8+\cdots +2^n\right)-2\cdot 2^{n+1}$ 其中 $4+8+\cdots +2^n=2^{n+1}-4$，故 $-T_n=6n-2-3\left(2^{n+1}-4\right)-2^{n+2}=6n+10-5\cdot 2^{n+1}$ $T_n=5\cdot 2^{n+1}-6n-10=10\cdot 2^n-6n-10$

第四步：完成证明 $T_n+12=10\cdot 2^n-6n+2=10b_n-2(3n-1)=-2a_n+10b_n$ 即 $T_n+12=-2a_n+10b_n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与等比数列的基本量运算，“等差 $\times$ 等比”型数列的求和。

核心方法：基本量法 + 错位相减法——先解出 $d,q$，再对 $T_n$ 乘公比后相减。

避坑指南：错位相减时最末项容易被漏掉或写错符号；$T_n$ 中项的排列是 $a_n{b}_1,a_{n-1}{b}_2,\cdots$，下标是”倒序配对”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自等差数列与等比数列交汇的基础训练，第二问是”错位相减”的标准样式。

结论推广：$T_n={\sum }_{i=1}^n{a}_{n+1-i}{b}_i$ 这类”倒序配对”求和，都可写成 ${\sum }_{i=1}^n{c}_i{q}^i$ 后用错位相减法。

方法推广：证明数列恒等式时，先求出 $T_n$ 的显式表达式，再与右端双向化简到同一式子即可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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