2022-天津卷-18 解-数列综合

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的通项公式。核心在于基本量法、构造法 / 分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列，$a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1$。

（1）求 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的通项公式；

（2）设 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$(S_{n+1}+a_{n+1})b_n=S_{n+1}{b}_{n+1}-S_n{b}_n$；

（3）求 $\sum _{k=1}^{2n}(a_{k+1}-(-1{)}^k{a}_k)b_k$ 的值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求通项）：根据 $\{a_n\}$ 是等差数列、$\{b_n\}$ 是等比数列的性质，将已知条件全部转化为基本量（首项 $a_1,b_1$、公差 $d$、公比 $q$）的方程组，解方程组即可。

2. 第二问（等式证明）：

   • 思路一（分析法）：利用等比数列的递推关系 $b_{n+1}=q{b}_n$ 将等式右边化简，提取公因式 $b_n$，从而将证明转化为关于 $\{a_n\}$ 及其前 $n$ 项和 $S_n$ 的恒等式证明，即证 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$。

   • 思路二（直接代入法）：先根据（1）的结论求出 $S_n,S_{n+1},a_{n+1},b_{n+1}$ 的具体表达式，分别代入等式左边和右边，化简后证明两边相等。

3. 第三问（数列求和）：由于求和式中含有 $(-1{)}^k$，这提示我们需要根据奇偶性进行分组求和。将相邻两项（第 $2m-1$ 项和第 $2m$ 项）结为一组进行合并化简。化简后会得到一个形如“等差 $\times$ 等比”的新数列，最后利用错位相减法求和即可。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{(6n-2)\cdot 4^{n+1}+8}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的通项公式

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。

则 $a_n=a_1+(n-1)d$，$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$。

已知 $a_1=b_1=1$，

由 $a_2-b_2=1$ 得：$(1+d)-q=1⟹d=q$。

由 $a_3-b_3=1$ 得：$(1+2d)-q^2=1⟹2d=q^2$。

将 $d=q$ 代入 $2d=q^2$，得 $q^2-2q=0$。

解得 $q=2$ 或 $q=0$。

因为 $\{b_n\}$ 是等比数列，所以 $q\ne 0$，故 $q=2$。

从而 $d=2$。

所以：

a_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$$$$b_n = 1 \times 2^{n-1} = 2^{n-1}

（2）证明等式

证法一（分析法推导）：

由（1）知 $b_{n+1}=2b_n$ 且 $b_n\ne 0$。

要证：$(S_{n+1}+a_{n+1})b_n=S_{n+1}{b}_{n+1}-S_n{b}_n$

即证：$(S_{n+1}+a_{n+1})b_n=S_{n+1}(2b_n)-S_n{b}_n$

即证：$(S_{n+1}+a_{n+1})b_n=(2S_{n+1}-S_n)b_n$

两边同除以 $b_n$ 得，即证：$S_{n+1}+a_{n+1}=2S_{n+1}-S_n$

移项化简，即证：$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$。

根据数列前 $n$ 项和的定义，对于任意数列均有 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 成立。

故原等式成立。

证法二（直接代入计算）：

由（1）知 $a_n=2n-1$，所以 $S_n=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$。

则 $S_{n+1}=(n+1{)}^2$，$a_{n+1}=2(n+1)-1=2n+1$。

等式左边 = $(S_{n+1}+a_{n+1})b_n=\left[(n+1{)}^2+2n+1\right]2^{n-1}=(n^2+4n+2)2^{n-1}$。

等式右边 = $S_{n+1}{b}_{n+1}-S_n{b}_n=(n+1{)}^2\cdot 2^n-n^2\cdot 2^{n-1}$

$=2(n^2+2n+1)2^{n-1}-n^2\cdot 2^{n-1}$

$=(2n^2+4n+2-n^2)2^{n-1}$

$=(n^2+4n+2)2^{n-1}$。

左边 = 右边，等式得证。

（3）求 $\sum _{k=1}^{2n}(a_{k+1}-(-1{)}^k{a}_k)b_k$

设 $c_k=(a_{k+1}-(-1{)}^k{a}_k)b_k$，我们需要求前 $2n$ 项和。

利用分组求和，将第 $2m-1$ 项和第 $2m$ 项分为一组（其中 $m=1,2,\dots ,n$）：

c_{2m-1} + c_{2m} = \left[a_{2m} - (-1)^{2m-1}a_{2m-1}\right]b_{2m-1} + \left[a_{2m+1} - (-1)^{2m}a_{2m}\right]b_{2m}$$$$= (a_{2m} + a_{2m-1})b_{2m-1} + (a_{2m+1} - a_{2m})b_{2m}

将 $a_n=2n-1$，$b_n=2^{n-1}$ 代入：

$a_{2m}=4m-1$，$a_{2m-1}=4m-3$，$a_{2m+1}=4m+1$。

$b_{2m-1}=2^{2m-2}$，$b_{2m}=2^{2m-1}$。

所以，

第一部分：$(a_{2m}+a_{2m-1})b_{2m-1}=(4m-1+4m-3)2^{2m-2}=(8m-4)2^{2m-2}=(2m-1)2^{2m}=(2m-1)4^m$。

第二部分：$(a_{2m+1}-a_{2m})b_{2m}=(4m+1-(4m-1))2^{2m-1}=2\cdot 2^{2m-1}=2^{2m}=4^m$。

故 $c_{2m-1}+c_{2m}=(2m-1)4^m+4^m=2m\cdot 4^m$。

因此，原式求和转化为：

$T_n=\sum _{m=1}^n(c_{2m-1}+c_{2m})=\sum _{m=1}^{n}2m\cdot 4^m$

利用错位相减法求 $T_n$：

T_n = 2 \cdot 4^1 + 4 \cdot 4^2 + 6 \cdot 4^3 + \dots + 2n \cdot 4^n \quad \cdots ①$$$$4T_n = \qquad \quad \;\; 2 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4^3 + \dots + 2(n-1) \cdot 4^n + 2n \cdot 4^{n+1} \quad \cdots ②

①式减去②式，得：

-3T_n = 2 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^3 + \dots + 2 \cdot 4^n - 2n \cdot 4^{n+1}$$$$-3T_n = 8 + \frac{32(1 - 4^{n-1})}{1 - 4} - 2n \cdot 4^{n+1}$$$$-3T_n = 8 - \frac{32}{3} + \frac{32}{3} \cdot 4^{n-1} - 2n \cdot 4^{n+1}$$$$-3T_n = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{n+1} - \frac{6n}{3} \cdot 4^{n+1}$$$$-3T_n = \frac{-8 + (2 - 6n)4^{n+1}}{3}

两边同除以 $-3$，解得：

$T_n=\frac{(6n-2)4^{n+1}+8}{9}$

即所求结果为 $\frac{(6n-2)4^{n+1}+8}{9}$。

等差、等比数列的概念及其通项公式、前$n$项和公式是本题的主要考查点。这些知识点属于新课程标准对数列内容的基本要求。

• 第（1）问 考查考生借助基本量（首项和公差/公比）求解方程组的能力，内容基础且形式熟悉。

• 第（2）问 无论选择代数变形（分析法）还是代入计算法，都能较好地考查考生的逻辑思维与代数推演能力，解题思路多样。

• 第（3）问 区分度较高，要求考生具备良好的观察力，识别出$(-1{)}^k$的奇偶交替特征，通过合理的分组化简后，再准确运用错位相减法。此问能够很好地区分不同层次考生的计算功底和综合应用能力。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “基本量法”是解决数列问题的基石：遇到等差、等比数列的混合问题，首选方案通常是设出基本量（首项 $a_1,b_1$，公差 $d$，公比 $q$），将所有已知条件转化为关于这几个基本量的方程（组）。只要方程列得对，通过代数消元即可破题。

2. 警惕含 $(-1{)}^n$ 的数列求和：当通项公式或求和表达式中出现 $(-1{)}^n$ 或类似交替变号的项时，分组求和法是标准处理手段。通常的做法是将相邻的两项（奇数项与偶数项）合并为一组，化简后再观察新数列的特征。

3. “错位相减法”的易错点突破：

   • 错位对齐：在写出式①和式②时，务必将指数相同的项上下对齐，这样相减时才不易漏项或算错系数。

   • 端点处理：相减后，通常中间部分会形成一个新的等比数列求和，但第一项和**最后一项（减去的尾项）**往往需要单独处理，这是最容易出错的地方。

   • 项数确认：在对中间生成的等比数列使用求和公式时，一定要准确判断项数，切忌死记硬背公式，要根据实际的首末项来确定。

4. 数列恒等式的证明技巧：证明关于数列的等式，核心是“统一变量”。要么将所有项都转化为通项 $a_n,b_n$ 进行化简，要么利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 将问题纯粹化为关于前 $n$ 项和 $S_n$ 的关系式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-20
• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2012-江西卷文-17 解-Sn求通项与错位相减