2012-安徽卷文-21 解-导数极值点数列与周期

本题导读

本题考查利用导数求极值点。核心在于导数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=\frac{x}{2}+\sin x$ 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 $\{x_n\}$.

(1) 求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $\{x_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求 $\sin S_n$.

🔍【思路分析】

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(1) 极小值点 $x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$，正的从小到大为 $x_n=-\frac{2\pi }{3}+2n\pi$；(2) $S_n=n^2\pi +\frac{n\pi }{3}$，$\sin S_n=\sin \left(-\frac{2n\pi }{3}\right)$。

✅【答案】

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(1) $x_n=-\frac{2\pi }{3}+2n\pi$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）；(2) $\sin S_n=\sin \left(-\frac{2n\pi }{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}+\cos x$。

$f^{\prime }(x)=0⟺\cos x=-\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ 或 $x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。

在 $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ 附近，$f^{\prime }$ 由正变负（极大值点）；在 $x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$ 附近，$f^{\prime }$ 由负变正（极小值点）。

故正的极小值点从小到大为 $\frac{4\pi }{3}$，$\frac{4\pi }{3}+2\pi$，$\cdots$，通项 $x_n=\frac{4\pi }{3}+2(n-1)\pi =-\frac{2\pi }{3}+2n\pi$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

(2) $S_n=\sum _{k=1}^n\left(-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right)=-\frac{2n\pi }{3}+2\pi \cdot \frac{n(n+1)}{2}=-\frac{2n\pi }{3}+n(n+1)\pi$。

化简：$S_n=n^2\pi +\frac{n\pi }{3}$（因 $n(n+1)\pi -\frac{2n\pi }{3}=n^2\pi +\frac{n\pi }{3}$）。

$\sin S_n=\sin \left(n^2\pi +\frac{n\pi }{3}\right)=(-1{)}^{n^2}\sin \frac{n\pi }{3}=(-1{)}^n\sin \frac{n\pi }{3}$。

而 $\sin \left(-\frac{2n\pi }{3}\right)$：$n=1$ 时为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$n=2$ 时为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$n=3$ 时为 $0$，与 $(-1{)}^n\sin \frac{n\pi }{3}$ 逐项一致（周期 $3$ 循环 $-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0$）。

故 $\sin S_n=\sin \left(-\frac{2n\pi }{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值点的判定（导数变号方向）；正的极小值点排成数列；$S_n$ 化简与 $\sin (n^2\pi +\theta )=(-1{)}^n\sin \theta$ 型周期化简

核心方法：(1) 解 $\cos x=-\frac{1}{2}$ 并按”导数由负变正”筛出极小值点；(2) 等差数列求和后把 $n^2\pi$ 用诱导公式吸进正弦

避坑指南：$\frac{2\pi }{3}$ 与 $\frac{4\pi }{3}$ 都是 $\cos x=-\frac{1}{2}$ 的解，但前者是极大值点，选错起点通项就错成 $\frac{2\pi }{3}+2(n-1)\pi$；(2) 中 $\sin (n^2\pi +\theta )$ 的符号由 $n^2$ 的奇偶（即 $n$ 的奇偶）决定，别写成 $(-1{)}^{n^2+1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数极值点与数列、三角周期综合题，与 2013 年安徽卷文第 10 题、2012 年陕西卷文第 9 题同族。

结论推广：$f(x)=\frac{x}{2}+\sin x$ 的极小值点为 $\frac{4\pi }{3}+2k\pi$；$\sin (n^2\pi +\theta )=(-1{)}^n\sin \theta$；一般地 $\sin (k\pi +\theta )=(-1{)}^k\sin \theta$（$k\in \mathbf{Z}$）。

方法推广：“导数点排成数列”题：解三角方程 → 按变号方向分类极大/极小 → 取正值排序写通项；求和后再用周期性把 $\sin S_n$ 化成只含 $n$ 的标准形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-10 单-极值复合零点
• 2012-陕西卷文-09 单-导数极值点
• 2013-湖北卷文-10 单-对数函数极值点