2013-安徽卷文-10 单-极值复合零点

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值，以及函数的零点与方程根的个数。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 有两个极值点 $x_1$，$x_2$，若 $f(x_1)=x_1<x_2$，则关于 $x$ 的方程 $3(f(x){)}^2+2af(x)+b=0$ 的不同实根个数为()

A. $3$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，其零点为 $x_1,x_2$。令 $t=f(x)$，方程即 $3t^2+2at+b=0$ → $t=x_1$ 或 $t=x_2$。
2. $f(x)=x_2$：$x_2>x_1=f(x_1)$（极大值），水平线 $y=x_2$ 高于局部极大 → 仅右侧上升段 $1$ 个交点。
3. $f(x)=x_1$：$x_1$ 是极值点且 $f(x_1)=x_1$ → $x=x_1$ 是 $f(x)-x_1$ 的二重根；又 $f(x_2)<x_1$、$x\to +\infty$ 时 $f\to +\infty$ → 右侧还有一个根。共 $2$ 个不同实根。
4. 合计 $1+2=3$ 个不同实根。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，由题设其两个零点为 $x_1$，$x_2$（$x_1<x_2$），即 $3x^2+2ax+b=3(x-x_1)(x-x_2).$ 设 $t=f(x)$，则原方程为 $3t^2+2at+b=0,$ 其根恰为 $t=x_1$ 与 $t=x_2$。故原方程等价于 $f(x)=x_1或f(x)=x_2.$ 由 $f^{\prime }$ 在 $x_1$ 左正右负，$x_1$ 为极大值点，$x_2$ 为极小值点；已知 $f(x_1)=x_1<x_2$，且 $f(x_2)<f(x_1)=x_1$。 $f(x)=x_2$：水平线 $y=x_2$ 高于局部极大值 $f(x_1)=x_1$。曲线左支与中段上升最高到 $x_1<x_2$，均够不到 $y=x_2$；只有 $x>x_2$ 后的上升段与 $y=x_2$ 有 $1$ 个交点。 $f(x)=x_1$：记 $h(x)=f(x)-x_1$。由 $f(x_1)=x_1$ 且 $f^{\prime }(x_1)=0$，$x=x_1$ 至少是二重零点（局部极大恰触该水平线）；又 $h(x_2)=f(x_2)-x_1<0$，$x\to +\infty$ 时 $h\to +\infty$，故在 $(x_2,+\infty )$ 内还有一个零点。$h$ 是三次多项式，恰好 $3$ 个根（计重数），其中 $x_1$ 为二重根，故不同实根为 $2$ 个：$x_1$ 与某个 $x^{\ast }>x_2$。 综上，原方程的不同实根个数为 $1+2=3$。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与复合方程的根

核心方法：$g(t)=3t^2+2at+b$ 与 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ 同构 → 原方程 $\iff f(x)=x_1$ 或 $f(x)=x_2$；$f(x_1)=x_1$ 为极大值（二重根），合计 $3$ 个不同实根

避坑指南：两步关键：① 认出方程就是”$f^{\prime }$ 的形式作用在 $f(x)$ 上”，根恰为 $x_1,x_2$；② $f(x)=x_1$ 中 $x_1$ 既是根又是极值点（切点算二重根，“不同实根”只数一次）——把切点数成两个就会选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利用导数研究极值与方程根的个数（安徽卷选择题压轴）。

结论推广：同构转化：$3t^2+2at+b=0$ 的根为 $x_1,x_2$；三次函数图象与水平线交点的重根分析。

方法推广：识别同构 → 拆成两个 $f(x)=c$ → 按图象数不同实根（重根计一次）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-18 解-导数切线交点
• 2013-新课标II卷文-11 单-三次函数性质
• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距