2012-安徽卷理-09 单-双曲线

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及抛物线的焦半径公式。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 的直线交该抛物线于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点.若 $|AF|=3$，则 $△AOB$ 的面积为()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定抛物线特征：由 $y^2=4x$ 得 $p=2$，焦点 $F(1,0)$，准线方程 $l:x=-1$。
2. 利用定义求坐标：根据抛物线定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离。由 $|AF|=3$ 可求出点 $A$ 的横坐标 $x_A$，代入抛物线方程求出纵坐标 $y_A$。
3. 确定直线方程：由 $A$、$F$ 两点坐标写出直线 $AB$ 的方程。
4. 求解点 $B$ 坐标：联立直线与抛物线方程，求出点 $B$ 的坐标。
5. 计算面积：将 $△AOB$ 分解为 $△AOF$ 和 $△BOF$，利用底边 $OF$ 上的高（即 $A,B$ 的纵坐标绝对值）进行计算。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求点 $A$ 的坐标 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F(1,0)$，准线 $x=-1$。 由抛物线定义可知：$|AF|=x_A+\frac{p}{2}=x_A+1$。 已知 $|AF|=3$，则 $x_A+1=3⟹x_A=2$。 代入 $y^2=4x$ 得 $y_A^2=8⟹y_A=\pm 2\sqrt{2}$（不妨取正值，不影响面积）。 所以 $A(2,2\sqrt{2})$。

第二步：求直线 $AB$ 及点 $B$ 的坐标 直线 $AB$ 过 $F(1,0)$ 和 $A(2,2\sqrt{2})$，斜率 $k=\frac{2\sqrt{2}-0}{2-1}=2\sqrt{2}$。 直线方程为：$y=2\sqrt{2}(x-1)$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=2\sqrt{2}(x-1)\\ y^2=4x\end{array}$，消去 $x$ 得： $y^2=4(\frac{y}{2\sqrt{2}}+1)=\sqrt{2}y+4⟹y^2-\sqrt{2}y-4=0$。 设 $A,B$ 的纵坐标分别为 $y_A,y_B$，则 $y_A\cdot y_B=-4$。 已知 $y_A=2\sqrt{2}$，则 $y_B=\frac{-4}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$。

第三步：计算 $△AOB$ 的面积 $S_{△AOB}=S_{△AOF}+S_{△BOF}$ 底边均取 $OF$（在 $x$ 轴上），其长度为 $|OF|=1$。 $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot |OF|\cdot |y_A|+\frac{1}{2}\cdot |OF|\cdot |y_B|$ $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\times 1\times 2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{2}$ $S_{△AOB}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦半径公式 $r=x+\frac{p}{2}$；三角形面积的割补思想。
2. 核心方法：“以点代线”。通过定义求出 A 点坐标后，所有几何关系转化为代数运算。
3. 简便公式：焦点弦面积公式 $S_{△AOB}=\frac{1}{2}p|y_A-y_B|$（此处不通用，建议用割补法）。此外，过焦点的弦 $AB$ 满足 $y_A{y}_B=-p^2$，本题中即 $y_A{y}_B=-4$，可快速求出 $y_B$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 对于 $y^2=2px$ 的焦点弦 $AB$，若 $|AF|=m,|BF|=n$，则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$。
2. 方法推广: 涉及圆锥曲线与原点围成的三角形面积，若底边在坐标轴上，利用分割法是最稳妥的。
3. 题目推广: 若直线斜率不存在，则 $AB$ 为通径，面积为 $p^2/2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结 类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义

• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义

• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义