2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义

本题导读

本题考查抛物线的定义及其几何性质，通过向量共线关系确定点的位置比例。核心解题策略是利用抛物线定义将“点到焦点的距离”转化为“点到准线的距离”，结合相似三角形或平行线性质求解。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$P$ 是 $l$ 上一点，$Q$ 是直线 $PF$ 与 $C$ 的一个交点.若 $\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FQ}$，则 $|QF|=$ ()

A. $\frac{7}{2}$　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取抛物线参数：由 $y^2=8x$ 得 $2p=8⟹p=4$，焦点 $F(2,0)$，准线 $l:x=-2$。
2. 利用向量关系：$\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FQ}$ 说明 $F,Q,P$ 三点共线，且点 $Q$ 在线段 $FP$ 上，满足 $|FP|=4|FQ|$，由此可得 $|PQ|=3|FQ|$。
3. 转化距离（定义法）：
   • 设点 $Q$ 到准线 $l$ 的距离为 $d$，根据抛物线定义有 $|QF|=d$。
   • 过点 $Q$ 作准线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$。
   • 利用平行线分线段成比例或相似三角形，建立 $|QF|$ 与准线间距的关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定基本量 抛物线 $C:y^2=8x$，其中 $p=4$。 焦点 $F(2,0)$，准线 $l:x=-2$。

第二步：几何关系推导 由 $\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FQ}$ 可知，点 $Q$ 内分线段 $FP$。 令 $|QF|=d$，则根据抛物线定义，点 $Q$ 到准线 $l$ 的距离也为 $d$。 设点 $Q$ 的横坐标为 $x_Q$，则 $d=x_Q-(-2)=x_Q+2$。

过点 $Q$ 作 $Q{Q}^{\prime }\perp l$ 于 $Q^{\prime }$，则 $|Q{Q}^{\prime }|=d$。 由于点 $P$ 在准线 $l$ 上，过点 $F(2,0)$ 作 $F{F}^{\prime }\perp l$ 于 $F^{\prime }$，则 $|F{F}^{\prime }|=2-(-2)=4$。 在 $△PF{F}^{\prime }$ 中，$Q{Q}^{\prime }//F{F}^{\prime }$。 根据相似三角形性质（或平行线分线段成比例）： $\frac{|PQ|}{|PF|}=\frac{|Q{Q}^{\prime }|}{|F{F}^{\prime }|}$ 因为 $\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FQ}$，所以 $|PF|=4|QF|=4d$，且 $|PQ|=|PF|-|QF|=3d$。 代入比例式： $\frac{3d}{4d}=\frac{d}{4}$ 解得 $d=3$。

第三步：得出结论 根据抛物线定义，$|QF|=d=3$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线定义（点到焦点距离 = 点到准线距离）是破解此类距离比例题目的“金钥匙”。 2. 解题技巧：遇到向量比例关系 $\overrightarrow{FP}=n\overrightarrow{FQ}$，应立即转化为长度比例关系，并结合图形中的相似三角形进行转化。 3. 易错提醒：注意向量的方向。若题目给出的是 $\overrightarrow{PF}=n\overrightarrow{PQ}$ 等不同形式，点的位置关系（内分或外分）会改变，需仔细审题。

2. 核心方法：利用抛物线定义将焦点距转化为准线距，结合相似三角形比例。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 焦点弦的性质、直线的参数方程应用。

2. 结论推广: 对于抛物线 $y^2=2px$，若 $F,Q,P$ 共线且 $P$ 在准线上，$\overrightarrow{FP}=n\overrightarrow{FQ}$，则 $|QF|=\frac{n-1}{n}\cdot p$。本题中 $n=4,p=4$，则 $|QF|=\frac{3}{4}\cdot 4=3$。

3. 方法推广: 涉及圆锥曲线焦点弦的比例问题，坐标法虽万能但计算量大，优先考虑利用定义结合平面几何性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.01 平面向量基本概念
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义