2012-安徽卷理-13 填-三选一

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及简单图形的极坐标方程。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 在极坐标系中，圆 $\rho =4\sin \theta$ 的圆心到直线 $\theta =\frac{\pi }{6}(\rho \in \mathbb{R})$ 的距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆的方程转化：利用公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$，将圆的极坐标方程 $\rho =4\sin \theta$ 转化为直角坐标方程。
2. 确定圆心坐标：通过配方法求出直角坐标系下的圆心 $C(x_0,y_0)$。
3. 直线方程转化：将射线（或直线）的极坐标方程 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 转化为直角坐标方程 $Ax+By+C=0$。
4. 计算距离：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 求解。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化圆的方程 已知圆的极坐标方程为 $\rho =4\sin \theta$。 两边同时乘以 $\rho$ 得：${\rho }^2=4\rho \sin \theta$。 代入直角坐标转换公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $\rho \sin \theta =y$： $x^2+y^2=4y⟹x^2+(y-2{)}^2=4$ 所以圆心 $C$ 的直角坐标为 $(0,2)$。

第二步：转化直线方程 已知直线的极坐标方程为 $\theta =\frac{\pi }{6}$。 由 $\tan \theta =\frac{y}{x}$ 可得： $\frac{y}{x}=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹\sqrt{3}x-3y=0⟹x-\sqrt{3}y=0$

第三步：计算点到直线的距离 圆心 $C(0,2)$ 到直线 $x-\sqrt{3}y=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|0-\sqrt{3}\times 2|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：掌握 $\rho \cos \theta =x,\rho \sin \theta =y,{\rho }^2=x^2+y^2$ 这组互化核心。
2. 核心方法：“先化后求”。虽然极坐标系下也有距离公式，但转化为直角坐标系处理往往更符合学生的思维习惯且不易出错。
3. 易错点：忽略 $\rho \in \mathbb{R}$ 的含义。若题目给出 $\rho \ge 0$，则 $\theta =\alpha$ 表示的是一条射线；本题中表示穿过原点的直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 极坐标方程 $\rho =2a\sin \theta$ 表示圆心在 $(0,a)$，半径为 $|a|$ 的圆；$\rho =2a\cos \theta$ 表示圆心在 $(a,0)$，半径为 $|a|$ 的圆。
2. 方法推广: 涉及极坐标的面积、距离、交点问题，直角坐标化是通用且高效的手段。
3. 题目推广: 若求圆心到极轴（即 $x$ 轴）的距离，答案直接为圆心纵坐标 2。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 16.03 两条直线的位置关系判定 类题演练 (Links)

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