2012-安徽卷理-15 填-向量数量积

本题导读

本题考查数量积的运算律，以及向量模的计算公式。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 若平面向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|2\vec{a}-\vec{b}|\le 3$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开模不等式：将 $|2\vec{a}-\vec{b}|\le 3$ 两边平方，利用 $|\vec{v}{|}^2={\vec{v}}^2$ 展开，得到关于 ${\vec{a}}^2,{\vec{b}}^2$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的不等式。
2. 构建约束关系：注意到 $4{\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2$ 与 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 之间可以通过基本不等式或向量性质建立联系。
3. 利用基本不等式放缩：根据 $4{\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2\ge 4|\vec{a}||\vec{b}|$ 以及 $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$，通过不等式链条锁定 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的下界。

✅【答案】

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$-\frac{9}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对已知条件平方展开 由 $|2\vec{a}-\vec{b}|\le 3$，两边平方得： $(2\vec{a}-\vec{b}{)}^2\le 9$ $4{\vec{a}}^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2\le 9$ 整理得： $4{\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2\le 9+4\vec{a}\cdot \vec{b}\text{(1)}$

第二步：利用基本不等式放缩 根据基本不等式 $x^2+y^2\ge 2|xy|$，可知： $4{\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2=(2|\vec{a}|{)}^2+|\vec{b}{|}^2\ge 2\cdot (2|\vec{a}|)\cdot |\vec{b}|=4|\vec{a}||\vec{b}|$

又由向量数量积的定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，其中 $\cos \theta \ge -1$，故： $|\vec{a}||\vec{b}|\ge -\vec{a}\cdot \vec{b}$

结合上述两个不等式，得到： $4{\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2\ge 4(-\vec{a}\cdot \vec{b})=-4\vec{a}\cdot \vec{b}\text{(2)}$

第三步：建立数量积的不等式 联立 ① ② 两式： $-4\vec{a}\cdot \vec{b}\le 4{\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2\le 9+4\vec{a}\cdot \vec{b}$ 由此得出： $-4\vec{a}\cdot \vec{b}\le 9+4\vec{a}\cdot \vec{b}$ $8\vec{a}\cdot \vec{b}\ge -9$ $\vec{a}\cdot \vec{b}\ge -\frac{9}{8}$

第四步：验证等号成立条件 当 $4{\vec{a}}^2={\vec{b}}^2$（即 $|\vec{b}|=2|\vec{a}|$）且 $\vec{a},\vec{b}$ 共线反向（即 $\cos \theta =-1$）时， $4{\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2=-4\vec{a}\cdot \vec{b}$ 成立。 代入原式 $|2\vec{a}-\vec{b}|=|2\vec{a}-(-2\vec{a})|=|4\vec{a}|=3⟹|\vec{a}|=\frac{3}{4},|\vec{b}|=\frac{3}{2}$。 此时 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{2}\cdot (-1)=-\frac{9}{8}$。

故答案为：$-\frac{9}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模平方公式的应用；数量积范围判定的常用手段。
2. 核心方法：不等式放缩法。在本题中，关键在于将难以直接处理的 $4{\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2$ 通过基本不等式转化为与数量积相关的形式。
3. 易错点：忽略等号成立条件。在做此类填空题时，虽然直接放缩很快，但务必确认物理意义上是否存在对应的向量配置使等号成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 若 $|m\vec{a}+n\vec{b}|\le k$，求 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的最小值，通用思路为平方后利用 $m^2{\vec{a}}^2+n^2{\vec{b}}^2\ge -2mn\vec{a}\cdot \vec{b}$ 进行转化。
2. 方法推广: 涉及向量模的不等式，平方去绝对值几乎是所有问题的通用第一步。
3. 相关题目: 2014-大纲卷文-06 单-向量数量积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

• 09.02 平面向量的线性运算 类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算

• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算

• 2013-浙江卷理-17 填-向量数量积