2012-安徽卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定与性质。核心在于几何法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 平面图形 $AB{B}_1{A}_1{C}_{1}C$ 如图 1 所示，其中 $B{B}_1{C}_{1}C$ 是矩形，$BC=2,B{B}_1=4$，$AB=AC=\sqrt{2},A_1{B}_1=A_1{C}_1=\sqrt{5}$.现将该平面图形分别沿 $BC$ 和 $B_1{C}_1$ 折叠，使 $△ABC$ 与 $△A_1{B}_1{C}_1$ 所在平面都与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 垂直，再分别连接 $A{A}_1,B{A}_1,C{A}_1$，得到如图 2 所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.

(1)证明：$A{A}_1\perp BC$；

(2)求 $A{A}_1$ 的长；

(3)求二面角 $A-BC-A_1$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用面面垂直的性质定理。取 $BC$ 中点 $O$，则 $AO\perp BC$。由于面 $ABC\perp$ 面 $B{B}_1{C}_{1}C$，故 $AO\perp$ 底面。同理可得 $A_1{O}_1\perp$ 底面。证明 $BC$ 垂直于包含 $A{A}_1$ 的某个平面即可。
2. 第二问：构造直角三角形或建立空间直角坐标系。通过计算 $AO,A_1{O}_1$ 以及它们在底面的投影距离，利用勾股定理求 $A{A}_1$。
3. 第三问：寻找二面角的平面角。根据垂直关系，$\angle AO{A}_1$ 即为二面角 $A-BC-A_1$ 的平面角。在 $△AO{A}_1$ 中使用余弦定理求解。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $A{A}_1=5$

(3) $-\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 取 $BC,B_1{C}_1$ 的中点分别为点 $O,O_1$，连接 $AO,O{O}_1,A_{1}O,A_1{O}_1$。

1. 在 $△ABC$ 中，$AB=AC=\sqrt{2},BC=2$，则 $AO\perp BC$ 且 $AO=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2-1^2}=1$。

2. 因为平面 $ABC\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，且交线为 $BC$，所以 $AO\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$。

3. 同理，在 $△A_1{B}_1{C}_1$ 中，$A_1{B}_1=A_1{C}_1=\sqrt{5},B_1{C}_1=2$，则 $A_1{O}_1\perp B_1{C}_1$ 且 $A_1{O}_1=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2-1^2}=2$。

4. 因为平面 $A_1{B}_1{C}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，所以 $A_1{O}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$。

5. 由 $AO\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，$A_1{O}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 知 $AO\parallel A_1{O}_1$，故 $A,O,O_1,A_1$ 四点共面。

6. 因为 $BC\perp AO$ 且 $BC\perp O{O}_1$，而 $AO\cap O{O}_1=O$，所以 $BC\perp$ 平面 $AO{O}_1{A}_1$。

7. 又 $A{A}_1\subset$ 平面 $AO{O}_1{A}_1$，所以 $A{A}_1\perp BC$。

（Ⅱ）解：

1. 延长 $A_1{O}_1$ 到 $D$，使 $O_{1}D=OA=1$。
2. 因为 $O_{1}D\parallel OA$ 且 $O_{1}D=OA$，所以四边形 $OAD{O}_1$ 为矩形，从而 $AD\parallel O{O}_1$。
3. 已知 $O{O}_1=B{B}_1=4$，则 $AD=4$。
4. 在 $Rt△AD{A}_1$ 中，$A_{1}D=A_1{O}_1+O_{1}D=2+1=3$。
5. 所以 $A{A}_1=\sqrt{A{D}^2+D{A}_1^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。

（Ⅲ）解： 6. 由（Ⅰ）知 $AO\perp BC,A_{1}O\perp BC$，所以 $\angle AO{A}_1$ 是二面角 $A-BC-A_1$ 的平面角。 7. 在 $Rt△O{O}_1{A}_1$ 中，$A_{1}O=\sqrt{O{O}_1^2+A_1{O}_1^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。 8. 在 $△OA{A}_1$ 中，$OA=1,O{A}_1=2\sqrt{5},A{A}_1=5$。 9. 根据余弦定理： $\cos \angle AO{A}_1=\frac{O{A}^2+O{A}_1^2-A{A}_1^2}{2OA\cdot O{A}_1}=\frac{1^2+(2\sqrt{5}{)}^2-5^2}{2\times 1\times 2\sqrt{5}}=\frac{1+20-25}{4\sqrt{5}}=-\frac{4}{4\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ 10. 所以二面角 $A-BC-A_1$ 的余弦值为 $-\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质定理（面面垂直 $\to$ 线面垂直）；二面角的定义。
2. 核心方法：“辅助面法”。通过证明 $BC\perp$ 平面 $AO{O}_1{A}_1$ 简化了垂直关系的证明；在求长度和角度时，将空间结构投影到该辅助平面上处理。
3. 易错点：计算 $A{A}_1$ 时，容易忽略 $AO$ 与 $A_1{O}_1$ 在底面同侧还是异侧，通过图 2 的指向应明确它们位于底面的同一侧，从而 $A_{1}D$ 为两段长度之和（取决于折叠方向，本题中为同向折叠）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 对于类似的折叠问题，折痕两侧的垂直关系是建立空间坐标系的最佳选择。
2. 方法推广: 坐标法在本题中也非常简洁。以 $O$ 为原点，$OB$ 为 $x$ 轴，$O{O}_1$ 为 $y$ 轴，$OA$ 为 $z$ 轴，则 $A(0,0,1),A_1(0,4,2)$，直接用向量法求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质 类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定

• 2010-天津卷文-19 解-异面直线角与二面角

• 2013-大纲卷理-19 解-线面垂直