2010-天津卷文-19 解-异面直线角与二面角

本题导读

考查立体几何综合。(1) $\cos =\frac{2\sqrt{2}}{3}$；(2) $CD\perp AB$ 且 $CD\perp AF$ 得 $CD\perp$ 平面 $ABF$；(3) $\tan =\frac{1}{4}$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 如图，在五面体 $ABCDEF$ 中，四边形 $ADEF$ 是正方形，$FA\perp$ 平面 $ABCD$，$BC\parallel AD$，$CD=1$，$AD=2\sqrt{2}$，$\angle BAD=\angle CDA=45^{\circ }$.

(1) 求异面直线 $CE$ 与 $AF$ 所成角的余弦值；

(2) 证明 $CD\perp$ 平面 $ABF$；

(3) 求二面角 $B-EF-A$ 的正切值.

🔍【思路分析】

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1. 建系：$A(0,0,0)$，$D(2\sqrt{2},0,0)$，$F(0,0,2\sqrt{2})$，$E(2\sqrt{2},0,2\sqrt{2})$，$B\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$，$C\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$。
2. $\overrightarrow{CE}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}\right)$，$|\overrightarrow{CE}|=3$，与 $\overrightarrow{AF}=(0,0,2\sqrt{2})$ 的方向余弦为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
3. $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 且 $AF\perp CD$，故 $CD\perp$ 平面 $ABF$。
4. 平面 $AEF$ 即 $xAz$ 面；求平面 $BEF$ 法向量，得二面角余弦 $\frac{4}{\sqrt{17}}$，正切 $\frac{1}{4}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) 见解析

(3) $\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AD}$ 方向为 $x$ 轴，$\overrightarrow{AF}$ 方向为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。 由 $AD=2\sqrt{2}$，$\angle BAD=\angle CDA=45^{\circ }$，$BC\parallel AD$，$CD=1$，得 $A(0,0,0),D(2\sqrt{2},0,0),F(0,0,2\sqrt{2}),E(2\sqrt{2},0,2\sqrt{2}),$ $B\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),C\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right).$ （在底面内：$B$ 在 $\angle BAD=45^{\circ }$ 的射线上，$C=D+(\cos 135^{\circ },\sin 135^{\circ })$，$BC=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，满足 $BC\parallel AD$。） (1) $\overrightarrow{CE}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}\right)$，$|\overrightarrow{CE}|=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+8}=3$。 $\overrightarrow{AF}=(0,0,2\sqrt{2})$，设异面直线 $CE$ 与 $AF$ 所成角为 $\theta$， $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{CE}||\overrightarrow{AF}|}=\frac{8}{3\times 2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$ (2) $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$，$\overrightarrow{AB}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$， $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\Rightarrow CD\perp AB.$ 又 $FA\perp$ 平面 $ABCD$，$CD\subset$ 平面 $ABCD$，故 $CD\perp AF$。 $AB\cap AF=A$，$AB,AF\subset$ 平面 $ABF$，所以 $CD\perp$ 平面 $ABF$。 (3) $\overrightarrow{EF}=(-2\sqrt{2},0,0)$，$\overrightarrow{EB}=\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-2\sqrt{2}\right)$。 设平面 $BEF$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EB}=\left(0,-2\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 方向的同向向量，平面 $AEF$（即 $xAz$ 平面）的法向量 ${\mathbf{n}}_2=(0,1,0)$。 设二面角 $B-EF-A$ 为 $\alpha$， $\cos \alpha =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{8+\frac{1}{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{17}{2}}}=\frac{4}{\sqrt{17}},$ $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}},\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{4}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角、线面垂直与二面角

核心方法：建立空间直角坐标系，全部问题坐标化

避坑指南：底面内 $B,C$ 的坐标由 $45^{\circ }$ 角与 $BC\parallel AD$ 联立确定，$BC=\sqrt{2}$ 是隐含长度；二面角余弦取锐角，$\cos \alpha =\frac{4}{\sqrt{17}}$ 化 $\tan \alpha$ 时别直接平方错算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：建系三原则：找两两垂直的三条直线、原点取在特殊点、坐标写全再计算。

结论推广：线面垂直判定：一条直线垂直于平面内两条相交直线。

方法推广：二面角的向量求法：两半平面法向量夹角（注意锐钝与指向）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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