2012-山东卷理-18 解-线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的判定与二面角的求解，以及坐标法。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

在如图所示的几何体中，四边形 $ABCD$ 是等腰梯形，$AB\parallel CD$，$\angle DAB=60^{\circ }$，$FC\perp$ 平面 $ABCD$，$AE\perp BD$，$CB=CD=CF$.

(1) 求证：$BD\perp$ 平面 $AED$；

(2) 求二面角 $F-BD-C$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $AE\perp BD$、$FC\perp$ 平面等条件证明 $BD\perp$ 平面 $AED$。

2. 建系求二面角 $F-BD-C$ 的余弦。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $AB\parallel CD$，等腰梯形 $\angle DAB=60^{\circ }$，可得 $BD\perp AE$，又 $AE\perp BD$（已知），$BD\perp$ 平面 $AED$。

(2) 建系，求平面 $FBD$ 与平面 $BDC$ 的法向量，夹角余弦 $=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定

核心方法：二面角的求法

避坑指南：空间向量坐标法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何垂直与角

结论推广：可推广到一般几何体的线面垂直、二面角

方法推广：证明线面垂直：线垂直面内两条相交直线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-18乙 解-面面垂直的性质定理

• 2005-全国卷I理-18 解-平面与平面垂直的判定

• 2005-全国卷II理-16 填-正三棱锥的定义与性质