2012-广东卷文-19 解-由前n项和求通项

本题导读

本题考查与的关系。核心在于构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，满足 $T_n=2S_n-n^2$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1)求 $a_1$ 的值；

(2)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

$S_1=T_1=2S_1-1$ 得 $a_1=1$；$a_n=2a_{n-1}+2$，构造得 $a_n+2=3\times 2^{n-1}$，故 $a_n=3\times 2^{n-1}-2$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$a_1=1$；(2)$a_n=3\times 2^{n-1}-2$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）$n=1$ 时，$T_1=S_1=a_1$，代入 $T_1=2S_1-1$ 得 $a_1=2a_1-1$，故 $a_1=1$。

（2）当 $n⩾2$ 时，$S_n=T_n-T_{n-1}=2S_n-n^2-\left(2S_{n-1}-(n-1{)}^2\right)=2\left(S_n-S_{n-1}\right)-\left(2n-1\right)=2a_n-(2n-1)$，

即 $S_n=2a_n-2n+1$.　①

对 $n-1$（$n⩾2$）同样有 $S_{n-1}=2a_{n-1}-2(n-1)+1=2a_{n-1}-2n+3$.　②

①$-$②（$S_n-S_{n-1}=a_n$）：$a_n=2a_n-2a_{n-1}-2$，即 $a_n=2a_{n-1}+2$（$n⩾2$）。

两边加 $2$：$a_n+2=2\left(a_{n-1}+2\right)$，且 $a_1+2=3\ne 0$，故数列 $\{a_n+2\}$ 是首项为 $3$、公比为 $2$ 的等比数列，

$a_n+2=3\times 2^{n-1}$，即 $a_n=3\times 2^{n-1}-2$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）.

（验证：$a_1=1$，$a_2=4$，$a_3=10$；$S_2=5$，$T_2=6=2\times 5-4$，$S_3=15$，$T_3=21=2\times 15-9$，均相符。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$T_n$（$S_n$ 的和）与 $S_n$、$a_n$ 的层层转化；形如 $a_n=q{a}_{n-1}+c$ 的通项

核心方法：“和的和”先作差还原成 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系，再相减得 $a_n$ 的递推，最后加常数构造等比

避坑指南：$T_n-T_{n-1}=S_n$ 只对 $n⩾2$ 成立，$a_1$ 必须单独用 $n=1$ 求；构造时加的是 $2$（不动点 $\frac{2}{1-2}$ 的绝对值），加错常数会得到假等比。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列 $S_n$-$T_n$ 递推题，与 2013 年江西卷理第 17 题、2014 年新课标Ⅰ理第 17 题同族。

结论推广：$T_n=f(S_n)$ 型：“和的和”两次作差，第一次还原 $S_n$，第二次落到 $a_n$ 的递推。

方法推广：含 $S_n$ 的数列题按”令 $n=1$ → 相减 → 化成 $a_n$ 的递推 → 构造”四步走，最后代 $n=1,2,3$ 回验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关
• 2013-江西卷理-17 解-由 S_n 求 a_n
• 2014-广东卷理-19 解-由前n项和求通项