2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关

本题导读

本题考查数列递推公式的变形及等差数列的判定。第一问通过相邻项递推式相减，利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 证明隔项等差关系；第二问在假设等差数列的前提下，利用恒等式对应系数相等求解参数，体现了逻辑推理与复杂代数运算的结合。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=1$，$a_n\ne 0$，$a_n{a}_{n+1}=\lambda S_n-1$，其中 $\lambda$ 为常数.

(1) 证明：$a_{n+2}-a_n=\lambda$；

(2) 是否存在 $\lambda$，使得 $\{a_n\}$ 为等差数列？并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：递推证明
   • 写出第 $n$ 项关系：$a_n{a}_{n+1}=\lambda S_n-1$ —— ①
   • 写出第 $n+1$ 项关系：$a_{n+1}{a}_{n+2}=\lambda S_{n+1}-1$ —— ②
   • 两式相减：② - ① 得 $a_{n+1}(a_{n+2}-a_n)=\lambda (S_{n+1}-S_n)$。
   • 利用 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$，结合 $a_{n+1}\ne 0$ 进行约分证明。
2. 第二问：存在性判定
   • 假设存在：设 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列。
   • 建立联系：由第一问知 $a_{n+2}-a_n=\lambda$，而等差数列中 $a_{n+2}-a_n=2d$，故可得 $\lambda =2d$，即 $d=\lambda /2$。
   • 代入验证：将通项 $a_n=1+(n-1)d$ 和前 $n$ 项和 $S_n$ 公式代入原递推式 $a_n{a}_{n+1}=\lambda S_n-1$。
   • 系数匹配：展开后形成关于 $n$ 的二次多项式恒等式，通过对应系数相等解出 $\lambda$。

✅【答案】

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第 (1) 小题：证明隔项等差；第 (2) 小题：等差数列存在性判定

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：证明隔项等差 由题意知： $a_n{a}_{n+1}=\lambda S_n-1$ （$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$） —— ① 则当 $n\ge 1$ 时，也有： $a_{n+1}{a}_{n+2}=\lambda S_{n+1}-1$ —— ② ② - ① 得： $a_{n+1}{a}_{n+2}-a_n{a}_{n+1}=\lambda (S_{n+1}-S_n)$ 整理得： $a_{n+1}(a_{n+2}-a_n)=\lambda a_{n+1}$ 因为 $a_n\ne 0$，所以 $a_{n+1}\ne 0$，等边两边同时除以 $a_{n+1}$ 得： $a_{n+2}-a_n=\lambda$ 命题得证。

第 (2) 小题：等差数列存在性判定 假设存在 $\lambda$ 使得 $\{a_n\}$ 为等差数列，设公差为 $d$。 由 (1) 知 $a_{n+2}-a_n=\lambda$，在等差数列中 $a_{n+2}-a_n=2d$。 故 $2d=\lambda ⟹d=\frac{\lambda }{2}$。 又 $a_1=1$，则通项公式为： $a_n=1+(n-1)\frac{\lambda }{2}$ 代入原递推式 $a_n{a}_{n+1}=\lambda S_n-1$ 中： 左边：$a_n{a}_{n+1}=[1+\frac{\lambda }{2}(n-1)]\cdot [1+\frac{\lambda }{2}n]$ 右边：$\lambda S_n-1=\lambda [n\cdot 1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{\lambda }{2}]-1$ 我们将等式展开并整理为关于 $n$ 的多项式： 左边 $=\frac{{\lambda }^2}{4}{n}^2+(\lambda -\frac{{\lambda }^2}{4})n+(1-\frac{\lambda }{2})$ 右边 $=\frac{{\lambda }^2}{4}{n}^2+(\lambda -\frac{{\lambda }^2}{4})n-1$ 若该式对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均成立，则常数项必须相等： $1-\frac{\lambda }{2}=-1$ 解得 $\lambda =4$。 此时 $d=2$，数列为 $a_n=2n-1$，其前 $n$ 项和 $S_n=n^2$。 验证：$a_n{a}_{n+1}=(2n-1)(2n+1)=4n^2-1$。 $\lambda S_n-1=4n^2-1$。 左右相等，符合题意。 所以，存在 $\lambda =4$，使得 $\{a_n\}$ 为等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$a_n$ 与 $S_n$ 的转化关系是解决数列综合题的命门。 2. 逻辑关键：第二问是“探索性问题”，通常采用“先假定存在，再通过恒等变形求参数”的策略。

2. 核心方法：相邻递推式相减消去 $S_n$，恒等式对应系数相等求参数。

3. 避坑指南：在第一问约去 $a_{n+1}$ 时，必须明确指出 $a_{n+1}\ne 0$，这是过程分的重要组成部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 阶差数列、二阶线性递推数列。

2. 结论推广: 若数列满足 $a_n{a}_{n+1}=p{S}_n+q$，且为等差数列，则必有首项、公差与 $p,q$ 间的固定约束。

3. 方法推广: 面对递推式中包含 $S_n$ 的情况，通常有两种处理路径：一是 $S_{n+1}-S_n$ 化为 $a_{n+1}$；二是利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 将全式化为关于 $S_n$ 的递推。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-17 解-由 S_n 求 a_n
• 2013-广东卷理-19 解-数列通项与和的关系 a_n